Exercício 4. Resolva os seguintes PVIs:
\frac{d y}{d x}=y \operatorname{tg}(x), \quad y(0)=2.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
\frac{dy}{dx}=y\,\operatorname{tg}(x),\qquad y(0)=2.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. Informação relevante fornecida:
  • A derivada de y em relação a x é \dfrac{dy}{dx}.
  • A equação relaciona \dfrac{dy}{dx} com y e \operatorname{tg}(x).
  • A condição inicial fixa y no ponto x=0: y(0)=2.

Passo 2

Escolha do método: a equação pode ser escrita de forma que todos os termos com y fiquem de um lado e todos os termos com x do outro — ou seja, é uma equação separável. Separar variáveis é um método direto e simples aqui porque a equação já está no formato \dfrac{dy}{dx}=f(x)g(y) com f(x)=\operatorname{tg}(x) e g(y)=y. Vou usar separação de variáveis e integrar ambos os lados.

Passo 3

Separar variáveis: dividir ambos os lados por y (nota: existe também a solução trivial y\equiv0, mas ela não satisfaz y(0)=2, então podemos dividir por y na vizinhança do ponto inicial onde y\neq0):
\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx}=\operatorname{tg}(x).
Agora escrever em diferencial e integrar:
\frac{dy}{y}=\operatorname{tg}(x)\,dx.
Integrando os dois lados:
\int\frac{dy}{y}=\int\operatorname{tg}(x)\,dx.

Passo 4

Calcular as integrais explicando cada passo.
  • A integral à esquerda é padrão:
\int\frac{dy}{y}=\ln|y| + C_1.
  • Para a integral à direita, usar \operatorname{tg}(x)=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Faça a substituição u=\cos x, então du=-\sin x\,dx. Assim
\int\operatorname{tg}(x)\,dx=\int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx=\int\frac{-du}{u}=-\ln|u|+C_2=-\ln|\cos x|+C_2.
Igualando as duas integrais (absorvendo constantes em uma só constante C):
\ln|y|=-\ln|\cos x|+C.

Passo 5

Resolver para y. Exponenciando ambos os lados:
|y|=e^{C}\,|\cos x|^{-1}.
Definindo A=e^{C} (constante positiva) e incorporando o sinal possível numa constante real C_0 (pode ser zero ou negativo), obtemos a forma geral
y(x)=C_0\operatorname{sec} x,
onde \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x} e a solução vale quando \cos x\neq0. A solução trivial y\equiv0 corresponde a C_0=0.

Passo 6

Aplicar a condição inicial y(0)=2. Como \cos 0=1 tem \operatorname{sec} 0=1, substituindo:
y(0)=C_0\operatorname{sec} 0=C_0\cdot1=C_0=2.
Logo C_0=2 e a solução particular do PVI é
y(x)=2\operatorname{sec} x.
Verificação rápida (confirmação): calcule \dfrac{d}{dx}(2\operatorname{sec} x)=2\operatorname{sec} x\tan x. Como y=2\operatorname{sec} x, o lado direito da EDO é y\tan x=(2\operatorname{sec} x)\tan x, que coincide com a derivada, portanto está correta.
Observação sobre domínio e unicidade: a solução está definida enquanto \cos x\neq0. Como a condição inicial está em x=0, a solução garantida pela existência e unicidade vale pelo menos no intervalo \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right).

Resposta

y(x)=2\operatorname{sec} x,\quad\text{para }|x|<\dfrac{\pi}{2}

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