Informações dadas: \;3 equações e \;3 incógnitas \;x_{1},x_{2},x_{3}.
O que se pede: encontrar os valores de \;x_{1},x_{2},x_{3} que satisfazem o sistema aplicando a eliminação de Gauss (sem pivoteamento, isto é, sem aplicar regras complicadas de escolha de pivô para estabilidade).]
Passo 2
Representação matricial aumentada (colocamos coeficientes e termos independentes numa única matriz). Isso ajuda a aplicar as operações de linha sistematicamente:
Explicação rápida: cada linha corresponde a uma equação; colunas 1–3 são os coeficientes de \;x_{1},x_{2},x_{3} e a coluna à direita dos traços verticais é o vetor dos termos constantes.]
Passo 3
Primeiro passo do método: escolher o pivô da primeira coluna (linha 1, coluna 1). Aqui o pivô inicial é \;a_{11}=3.
Fórmula do multiplicador para zerar abaixo do pivô: para cada linha i>1 usamos
que elimina o elemento na coluna 1 da linha i. Isso equivale a subtrair uma cópia apropriada da primeira linha das outras linhas para obter zeros abaixo do pivô.
Passo 4
Calculamos os multiplicadores e atualizamos as linhas 2 e 3.
Observação importante: para continuar a eliminação na segunda etapa precisamos de um pivô na posição \;a_{22} (linha 2, coluna 2). Porém após as operações obtivemos \;a_{22}=0. Se tentássemos usar \;a_{22} como pivô teríamos divisão por zero nas fórmulas dos multiplicadores — o procedimento padrão travaria.
Quando isso ocorre na prática, a solução é trocar linhas para obter um pivô não nulo (ou no caso de algoritmos automáticos fazer pivoteamento). O enunciado pedia “sem pivoteamento” no sentido de não escolher pivôs por estabilidade numérica, mas a troca de linhas para evitar divisão por zero é imprescindível aqui. Portanto faremos um único intercâmbio de linhas necessário para prosseguir: trocar a linha 2 com a linha 3.
Passo 6
Realizamos o intercâmbio \text{Linha}_2 \leftrightarrow \text{Linha}_3. Isso coloca um pivô não nulo na posição (2,2).
Matriz após a troca:
Agora temos uma matriz triangular superior já quase pronta: abaixo da diagonal temos zeros em (2,1) e (3,1) e também em (3,2). Para seguir o método formal, usaríamos o pivô \;a_{22}=-2 para eliminar entradas abaixo (a entrada (3,2) já é zero), e em seguida usaríamos o pivô \;a_{33}=-\tfrac{5}{3}. Aqui, como a entrada (3,2) já é zero, não há operação adicional necessária entre linhas 2 e 3. Assim a matriz está em forma triangular superior:
Agora fazemos a substituição regressiva (back substitution). A ideia: a última linha dá diretamente x_{3}, a penúltima dá x_{2} em função de x_{3}, e a primeira dá x_{1} depois que x_{2},x_{3} forem conhecidos.