Exercício 1: Use o método de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva das equações a seguir com precisão
:
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a menor raiz positiva da equação
com precisão
. Informações dadas que vamos usar:
A tarefa será aplicar o método de Newton–Raphson para obter um
tal que a igualdade seja satisfeita com erro menor que
.
Passo 2
Reescrevo a equação em forma de função cuja raiz queremos:
Queremos
tal que
. Essa é a forma padrão para aplicar Newton–Raphson.
Passo 3
Calculo a derivada
, que é necessária no método:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto
Aqui
é a taxa de variação de
; Newton usa essa inclinação para linearizar
localmente.
Passo 4
Apresento o método de Newton–Raphson e o critério de parada:
- Iteração de Newton:
- Critério de parada: paro quando
(erro absoluto na aproximação menor que ).
Explicação rápida: em cada iteração aproximamospor sua reta tangente em e tomamos a raiz dessa reta como nova aproximação.
Passo 5
Escolha de chute inicial
. Primeiro localizo um intervalo com mudança de sinal:
Como
e
, existe uma raiz em
. Escolho
(próximo ao ponto onde o sinal muda) para iniciar Newton.
Passo 6
Faço a primeira iteração a partir de
.
Calculo
e
:
Aplicando Newton:
Passo 7
Segunda iteração a partir de
.
Calculo
e
(uso aproximações locais, explico a ideia: para
faço avaliação direta das funções exponencial e trigonométrica):
- Estimando
, então . - Usando fórmula de adição para melhorar
e (ou avaliando diretamente), obtemos aproximadamente
Aplicando Newton:
Calculando a fração:
logo
Passo 8
Terceira iteração a partir de
.
Avalio
e
por linearização a partir de
(variação muito pequena):
- Com a correção pequena obtemos
Derivada aproximadamente igual à de
:
Correção de Newton:
Então
A diferença
, portanto o critério de parada foi satisfeito.
Passo 9
Interpretação do resultado e verificação rápida: a sequência convergiu rapidamente para um valor em
. Podemos checar que
é da ordem
(próximo de zero dentro do erro de arredondamento usado), então a raiz encontrada é confiável com precisão melhor que
.