Informações relevantes dadas: todos os elementos de A estão acima; não há imagens ou dados adicionais. O que se pede é: (i) determinar se existe A^{-1} e (ii) calcular A^{-1} quando existir.]
Passo 2
Qual método vou usar (explicação didática): vou usar o método de Gauss–Jordan (ou eliminação de Gauss com retro‑substituição transformada), que é a forma sistemática de obter A^{-1} fazendo operações elementares sobre linhas. A ideia é montar a matriz aumentada [A\mid I], aplicar operações de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha em outra) até transformar A na matriz identidade I. Se isso for possível, o lado direito se transforma em A^{-1}. Se em algum passo não for possível obter pivôs não nulos (ou seja, aparecer uma linha nula do lado esquerdo antes de alcançar I), então A não é inversível. Essas operações preservam as soluções e correspondem a multiplicar por matrizes elementares invertíveis, por isso o procedimento é válido.
Tipos de operação permitidos (relembrando):
L_i \leftrightarrow L_j (troca de linhas),
L_i \leftarrow c\, L_i com c\neq 0 (multiplicar linha por escalar),
L_i \leftarrow L_i + c\, L_j (somar múltiplo de outra linha).
Agora monto a matriz aumentada inicial e começo a reduzir.
Agora escolho a coluna 2 como próximo pivô. A linha 2 tem entrada -\tfrac{1}{4} em (2,2), que é não nula, então posso usá‑la. Para simplificar, multiplico L_2 por -4 para tornar o pivô 1:
L_2\leftarrow -4L_2.
Isso dá
L_2=[\,0,\;1,\;6,\;-6\mid 3,\;-4,\;0,\;0\,].
Agora elimino as entradas na coluna 2 nas outras linhas usando L_2:
Agora coluna 3 é a próxima. Na posição (3,3) temos -21, que é não nulo; usemos essa linha como pivô. Para facilitar, divido L_3 por -21 para obter pivô 1:
parte direita passa a -\tfrac{1}{21},\; \tfrac{1}{3},\; \tfrac{2}{21},\; 0. (Detalhes das contas dos elementos da direita podem ser seguidos por aritmética direta).
Como foi possível transformar A em I_4 por operações elementares, concluímos que A é inversível. A parte direita da matriz aumentada (as quatro colunas à direita da barra) é exatamente A^{-1}.]