Exercício:
Resolver a seguinte equação diferencial pelo Método de Variação de Parâmetros
Passo 1
Estamos resolvendo a equação diferencial de 2ª ordem não homogênea pelo método de variação de parâmetros. Vamos precisar da solução geral da homogênea e das fórmulas para determinar as funções variacionais e .
Passo 2
Para a equação homogênea , as soluções fundamentais são e . Logo, a solução homogênea geral é .
Passo 3
Calculamos o Wronskiano das soluções fundamentais:
Passo 4
Aplicamos as fórmulas de variação de parâmetros para f(x)=csc(x):
u1'(x) = -f(x),y2(x)W = -csc(x)sin x = -1,
u2'(x) = f(x),y1(x)W = csc(x)cos x = cot(x)
Integramos para obter:
u1(x) = -integral 1,dx = -x,
u2(x) = integral cot(x),dx = ln|sin x|
Passo 5
Construímos a solução particular:
yp(x) = nu1(x)y1(x) + nu2(x)y2(x) = -xcos x + ln|sin x|,sin x
Passo 6
Então a solução geral da equação original é a soma de yh e yp.
Resposta
y(x) = C1cos x + C2sin x - xcos x + sin xln|sin x|.