Exercício:
Resolver a seguinte equação diferencial pelo Método de Variação de Parâmetros
y^prime prime+y=cossec(x)

Passo 1

Estamos resolvendo a equação diferencial de 2ª ordem não homogênea y'' + y = csc(x) pelo método de variação de parâmetros. Vamos precisar da solução geral da homogênea e das fórmulas para determinar as funções variacionais u1 e u2.

Passo 2

Para a equação homogênea y'' + y = 0, as soluções fundamentais são y1(x)=cos x e y2(x)=sin x. Logo, a solução homogênea geral é yh(x)=C1cos x + C2sin x.

Passo 3

Calculamos o Wronskiano das soluções fundamentais:
W(y1,y2)=cos x & sin x -sin x & cos x=cos^2 x + sin^2 x = 1

Passo 4

Aplicamos as fórmulas de variação de parâmetros para f(x)=csc(x):
u1'(x) = -f(x),y2(x)W = -csc(x)sin x = -1,
u2'(x) = f(x),y1(x)W = csc(x)cos x = cot(x)
Integramos para obter:
u1(x) = -integral 1,dx = -x,
u2(x) = integral cot(x),dx = ln|sin x|

Passo 5

Construímos a solução particular:
yp(x) = nu1(x)y1(x) + nu2(x)y2(x) = -xcos x + ln|sin x|,sin x

Passo 6

Então a solução geral da equação original é a soma de yh e yp.

Resposta

y(x) = C1cos x + C2sin x - xcos x + sin xln|sin x|.

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