Questão 1 ( 3 pontos) Calcule as derivadas parciais:
W=raizu^3+2 v^2 ; partial^2 Wpartial u partial v ; R=-3 u^2 v(u^3+2 v^2)^3 / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ W = \sqrt{u^{3} + 2v^{2}} $ e precisa calcular a derivada parcial de segunda ordem $ \frac{\partial^{2} W}{\partial u \partial v} $. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especialmente derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como calcular derivadas parciais de funções com mais de uma variável e entender as regras básicas de diferenciação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de duas variáveis, como $ W(u, v) $, a derivada parcial em relação a $ u $ (escrita como $ \frac{\partial W}{\partial u} $) é a taxa de variação de $ W $ quando apenas $ u $ varia, mantendo $ v $ constante. O mesmo vale para a derivada parcial em relação a $ v $.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar $ \frac{\partial^{2} W}{\partial u \partial v} $, que é a derivada parcial de $ \frac{\partial W}{\partial u} $ em relação a $ v $, ou vice-versa. Primeiro, vamos calcular $ \frac{\partial W}{\partial u} $.
A função é $ W = \sqrt{u^{3} + 2v^{2}} $. Podemos reescrever isso como $ W = (u^{3} + 2v{2}){1/2} $ para facilitar a diferenciação.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para derivadas, a derivada de $ W $ em relação a $ u $ é:
W

Passo 5

Agora, precisamos derivar $ \frac{\partial W}{\partial u} $ em relação a $ v $ para encontrar $ \frac{\partial^{2} W}{\partial u \partial v} $.
Temos:
partial Wpartial u
Vamos chamar o denominador de $ D = (u^{3} + 2v{2}){1/2} $. Então,
v

Passo 6

Aplicando a regra do quociente para derivadas, temos:
partial^2 Wpartial u partial v = partialpartial v(3u^22D) = 3u^2 cdot partialpartial v(12D)

Passo 7

Agora, derivamos $ \frac{1}{2D} $ em relação a $ v $:
12D
Sabemos que $ D = (u^{3} + 2v{2}){1/2} $, então:
v

Passo 8

Substituindo de volta:
partialpartial v(12D) = -12D^2 cdot 2vD = -vD^3

Passo 9

Agora, substituímos de volta na expressão para $ \frac{\partial^{2} W}{\partial u \partial v} $:
partial^2 Wpartial u partial v

Resposta

A derivada parcial de segunda ordem é:
partial^2 Wpartial u partial v = -3u^2v(u^3 + 2v^2)^3/2

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