Questão 1 ( 3 pontos) Calcule as derivadas parciais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ W = \sqrt{u^{3} + 2v^{2}} $ e precisa calcular a derivada parcial de segunda ordem $ \frac{\partial^{2} W}{\partial u \partial v} $. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especialmente derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como calcular derivadas parciais de funções com mais de uma variável e entender as regras básicas de diferenciação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de duas variáveis, como $ W(u, v) $, a derivada parcial em relação a $ u $ (escrita como $ \frac{\partial W}{\partial u} $) é a taxa de variação de $ W $ quando apenas $ u $ varia, mantendo $ v $ constante. O mesmo vale para a derivada parcial em relação a $ v $.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar $ \frac{\partial^{2} W}{\partial u \partial v} $, que é a derivada parcial de $ \frac{\partial W}{\partial u} $ em relação a $ v $, ou vice-versa. Primeiro, vamos calcular $ \frac{\partial W}{\partial u} $.
A função é $ W = \sqrt{u^{3} + 2v^{2}} $. Podemos reescrever isso como $ W = (u^{3} + 2v{2}){1/2} $ para facilitar a diferenciação.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia para derivadas, a derivada de $ W $ em relação a $ u $ é:
Passo 5
Agora, precisamos derivar $ \frac{\partial W}{\partial u} $ em relação a $ v $ para encontrar $ \frac{\partial^{2} W}{\partial u \partial v} $.
Temos:
Vamos chamar o denominador de $ D = (u^{3} + 2v{2}){1/2} $. Então,
Passo 6
Aplicando a regra do quociente para derivadas, temos:
Passo 7
Agora, derivamos $ \frac{1}{2D} $ em relação a $ v $:
Sabemos que $ D = (u^{3} + 2v{2}){1/2} $, então:
Passo 8
Substituindo de volta:
Passo 9
Agora, substituímos de volta na expressão para $ \frac{\partial^{2} W}{\partial u \partial v} $:
Resposta
A derivada parcial de segunda ordem é: