(2,5 pontos) Calcule integral sin (x) e^2 x d x.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral indefinida integral sin(x)e^2x,dx. Esse tipo de integral combina uma função trigonométrica com exponencial, e vamos usar a técnica de integração por partes duas vezes para resolvê-la.

Passo 2

Na primeira aplicação de integração por partes, escolhemos u=sin(x) e dv=e^2x,dx. Assim du=cos(x),dx e v=tfrace^2x2. Logo obtemos
integral sin(x)e^2x,dx = e^2x2sin(x) - integral e^2x2cos(x),dx = e^2x2sin(x) - 12integral e^2xcos(x),dx
Chame a integral remanescente de J=integral e^2xcos(x),dx.

Passo 3

Para calcular J, aplicamos integração por partes de novo: escolha u=cos(x) e dv=e^2x,dx, então du=-sin(x),dx e v=tfrace^2x2. Assim
J = integral e^2xcos(x),dx = e^2x2cos(x) + 12integral e^2xsin(x),dx
Como I=integral e^2xsin(x),dx, ficamos com
J = e^2x2cos(x) + 12I

Passo 4

Substituindo J na expressão obtida no passo 2,
I = e^2x2sin(x) - 12J = e^2x2sin(x) - 12l(e^2x2cos(x) + 12Ir)
Distribuindo e reorganizando os termos, temos
I + 14I = e^2x2sin(x) - e^2x4cos(x)
54I = e^2x(2sin(x) - cos(x))4
I = e^2x(2sin(x) - cos(x))5

Resposta

e^2x(2sin(x)-cos(x))5+C

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