Exercício 1: Resolver os seguintes itens.

Passo 1

A equação dada é |x^2-x-2| = 2x+2. O conteúdo principal aqui é resolução de equações com valor absoluto. Vamos usar a definição de valor absoluto e também lembrar que o lado direito 2x+2 deve ser não-negativo para a igualdade fazer sentido.

Passo 2

Primeiro, garantimos o domínio da equação exigindo
2x+2 >= 0
ou seja
x >= -1

Passo 3

Em seguida, usamos a definição
|A| = A, & A >= 0, -A, & A < 0
com A = x^2 - x -2, e dividimos em dois casos.

Passo 4

Caso 1: x^2 - x -2 >= 0. Nesse caso a equação vira
x^2 - x - 2 = 2x + 2
Reorganizando,
x^2 - 3x - 4 = 0 implies (x-4)(x+1)=0,
logo x=4 ou x=-1. Verificando as condições:
  • Ambas satisfazem x>= -1.
  • Em cada uma, x^2 - x -2 é realmente >=0.
    Portanto, x=4 e x=-1 são soluções válidas neste caso.

Passo 5

Caso 2: x^2 - x -2 < 0. Agora a equação fica
-(x^2 - x -2)=2x+2
ou
-x^2 + x + 2 = 2x + 2
Rearranjando,
-x^2 - x = 0 implies -x(x+1)=0,
logo x=0 ou x=-1. Verificamos as condições:
- Devemos ter x>= -1 e x^2 - x -2 < 0.
- Para x=0, 0^2-0-2=-2<0 e 0>=-1, vale.
- Para x=-1, x^2-x-2=0 não é <0, cai fora.
Assim, só x=0 vale neste caso.

Passo 6

Juntando todas as soluções válidas sem repetição, obtemos o conjunto final: -1,0,4.

Resposta

x = -1, 0, 4

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