A equação dada é |x^2-x-2| = 2x+2. O conteúdo principal aqui é resolução de equações com valor absoluto. Vamos usar a definição de valor absoluto e também lembrar que o lado direito 2x+2 deve ser não-negativo para a igualdade fazer sentido.
Passo 2
Primeiro, garantimos o domínio da equação exigindo
2x+2 >= 0
ou seja x >= -1
Passo 3
Em seguida, usamos a definição
|A| = A, & A >= 0, -A, & A < 0
com A = x^2 - x -2, e dividimos em dois casos.
Passo 4
Caso 1: x^2 - x -2 >= 0. Nesse caso a equação vira
Em cada uma, x^2 - x -2 é realmente >=0.
Portanto, x=4 e x=-1 são soluções válidas neste caso.
Passo 5
Caso 2: x^2 - x -2 < 0. Agora a equação fica
-(x^2 - x -2)=2x+2
ou -x^2 + x + 2 = 2x + 2
Rearranjando,
-x^2 - x = 0 implies -x(x+1)=0,
logo x=0 ou x=-1. Verificamos as condições:
- Devemos ter x>= -1 e x^2 - x -2 < 0.
- Para x=0, 0^2-0-2=-2<0 e 0>=-1, vale.
- Para x=-1, x^2-x-2=0 não é <0, cai fora.
Assim, só x=0 vale neste caso.
Passo 6
Juntando todas as soluções válidas sem repetição, obtemos o conjunto final: -1,0,4.