Determine o raio e o intervalo de convergência de cada série abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o raio e o intervalo de convergência da série
. Estamos lidando com séries de potências, que são somas infinitas envolvendo poderes de $ x $. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste analisa o limite da razão entre termos consecutivos da série para determinar a convergência.
A fórmula do Teste da Razão é:
Se $ L < 1 $, a série converge; se $ L > 1 $, diverge; e se $ L = 1 $, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos identificar o termo geral da série:
Agora, calculamos $ a_{n+1} $:
Agora, aplicando o Teste da Razão:
Simplificando:
Passo 4
Para que a série converja, precisamos que $ L < 1 $:
Isso nos dá o raio de convergência $ R = 1 $.
Agora, para encontrar o intervalo de convergência, analisamos os pontos extremos $ x = -1 $ e $ x = 1 $.
- Em $ x = 1 $:
A série se torna:
Essa é uma série alternada que oscila entre -1 e 1, mas não converge para nenhum valor específico.
- Em $ x = -1 $:
A série se torna:
Ela também oscila entre -1 e 1, sem convergir.
Resposta
O raio de convergência é $ R = 1 $ e o intervalo de convergência é $ -1 < x < 1 $.