Determine o raio e o intervalo de convergência de cada série abaixo:
sumn=0^infty(-1)^n+1 x^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o raio e o intervalo de convergência da série sumn=0^infty(-1)^n+1 x^n. Estamos lidando com séries de potências, que são somas infinitas envolvendo poderes de $ x $. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste analisa o limite da razão entre termos consecutivos da série para determinar a convergência.
A fórmula do Teste da Razão é:
L = limn to infty | an+1an |
Se $ L < 1 $, a série converge; se $ L > 1 $, diverge; e se $ L = 1 $, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos identificar o termo geral da série:
an = (-1)^n+1 x^n
Agora, calculamos $ a_{n+1} $:
an+1
Agora, aplicando o Teste da Razão:
an+1 = (-1)^(n+1)+1 x^n+1 = (-1)^n+2 x^n+1 = (-1)^n x^n+1
Simplificando:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | (-1)^n x^n+1(-1)^n+1 x^n |

Passo 4

Para que a série converja, precisamos que $ L < 1 $:
L < 1
Isso nos dá o raio de convergência $ R = 1 $.
Agora, para encontrar o intervalo de convergência, analisamos os pontos extremos $ x = -1 $ e $ x = 1 $.
  1. Em $ x = 1 $:
A série se torna:
|x| < 1
Essa é uma série alternada que oscila entre -1 e 1, mas não converge para nenhum valor específico.
  1. Em $ x = -1 $:
A série se torna:
R = 1
Ela também oscila entre -1 e 1, sem convergir.

Resposta

O raio de convergência é $ R = 1 $ e o intervalo de convergência é $ -1 < x < 1 $.

Exercícios relacionados