Exercício 1: Resolver os seguintes itens.
|4 x-6|=|3 x+2|

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação |4x - 6| = |3x + 2|. Aqui, estamos lidando com módulos (também conhecidos como valores absolutos). Para resolver esse tipo de equação, precisamos considerar os casos em que as expressões dentro dos módulos são positivas ou negativas. Vamos precisar lembrar como trabalhar com módulos e como resolver equações lineares.

Passo 2

Primeiro, identifique os pontos onde as expressões dentro dos módulos mudam de sinal. Isso acontece quando cada expressão é igual a zero.
Para 4x - 6 = 0:
4x - 6 = 0 implies 4x = 6 implies x = 64 = 32
Para 3x + 2 = 0:
3x + 2 = 0 implies 3x = -2 implies x = -23
Esses pontos dividem a linha dos números reais em três intervalos: x < -23, -23 <= x < 32 e x >= 32. Vamos resolver a equação em cada um desses intervalos.

Passo 3

Caso 1: x < -23
Nesse intervalo, tanto 4x - 6 quanto 3x + 2 são negativos. Portanto:
|4x - 6| = -(4x - 6) = -4x + 6
|3x + 2| = -(3x + 2) = -3x - 2
A equação fica:
-4x + 6 = -3x - 2
Resolvendo:
-4x + 3x = -2 - 6 implies -x = -8 implies x = 8
Como 8 não está no intervalo x < -23, não há solução nesse caso.

Passo 4

Caso 2: -23 <= x < 32
Aqui, 4x - 6 é negativo e 3x + 2 é positivo. Então:
|4x - 6| = -(4x - 6) = -4x + 6
|3x + 2| = 3x + 2
A equação fica:
-4x + 6 = 3x + 2
Resolvendo:
-4x - 3x = 2 - 6 implies -7x = -4 implies x = 47
Como 47 está entre -23 e 32, essa é uma solução válida.

Passo 5

Caso 3: x >= 32
Nesse intervalo, tanto 4x - 6 quanto 3x + 2 são positivos. Portanto:
|4x - 6| = 4x - 6
|3x + 2| = 3x + 2
A equação fica:
4x - 6 = 3x + 2
Resolvendo:
4x - 3x = 2 + 6 implies x = 8
Como 8 é maior que 32, essa é outra solução válida.

Resposta

As soluções da equação |4x - 6| = |3x + 2| são:
x = 47 e x = 8

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