Verifique que a função que estende o n-ésimo termo de cada série dada abaixo atende às hipóteses do Teste da Integral e em seguida decida sobre a convergência:
sumn=2^infty 2n raizn^2-1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão! Temos a série infinita:
sumn=2^infty 2n raizn^2-1
O objetivo é verificar se essa série converge ou diverge usando o Teste da Integral. Para isso, precisamos conferir se a função que representa o termo geral da série atende às condições desse teste: ser positiva, contínua e decrescente para $ n \geq 2 $. Se atender, vamos integrar essa função e ver se a integral resulta em um valor finito (convergente) ou não (divergente).

Passo 2

Primeiro, vamos associar o termo geral da série a uma função contínua. Seja:
f(x) = 2x raizx^2 - 1
Vamos verificar se $ f(x) $ é positiva, contínua e decrescente para $ x \geq 2 $:
  • Positiva: Para $ x \geq 2 $, tanto $ x $ quanto $ \sqrt{x^{2} - 1} $ são positivos, então $ f(x) $ é positiva.
  • Contínua: A função está definida para todos os $ x \geq 2 $, sem pontos de descontinuidade.
  • Decrescente: Vamos verificar a derivada para confirmar se a função está diminuindo conforme $ x $ aumenta.
Calculando a derivada de $ f(x) $:
f(x)
Usando a regra do quociente e a cadeia, constatamos que $ f’(x) < 0 $ para $ x \geq 2 $, ou seja, a função é decrescente.
Assim, $ f(x) $ atende todas as hipóteses do Teste da Integral.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral imprópria de $ f(x) $ de 2 até o infinito:
f(x)
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
integral2^infty 2x raizx^2 - 1 , dx
Então,
u = raizx^2 - 1
Derivando ambos os lados em relação a $ x $:
u = raizx^2 - 1 implies u^2 = x^2 - 1 implies x^2 = u^2 + 1
Substituindo na integral:
x
Como $ x^{2} = u^{2} + 1 $:
2u dudx = 2x implies dudx = xu implies dx = ux du

Passo 4

Agora, avaliamos o limite da integral de 2 ao infinito:
limb to infty [ 2 arctan(raizb^2 - 1) - 2 arctan(raiz2^2 - 1) ]
Sabemos que:
limb to infty arctan(raizb^2 - 1) = pi2
Portanto:
2 ( pi2 - arctan(raiz3) ) = pi - 2 cdot pi3 = pi - 2pi3 = pi3
Como o resultado é finito ($ \frac{\pi}{3} $), a integral converge.

Resposta

Pelo Teste da Integral, a série $ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{n \sqrt{n^{2}-1}} $ converge.

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