Verifique que a função que estende o n-ésimo termo de cada série dada abaixo atende às hipóteses do Teste da Integral e em seguida decida sobre a convergência:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão! Temos a série infinita:
O objetivo é verificar se essa série converge ou diverge usando o Teste da Integral. Para isso, precisamos conferir se a função que representa o termo geral da série atende às condições desse teste: ser positiva, contínua e decrescente para $ n \geq 2 $. Se atender, vamos integrar essa função e ver se a integral resulta em um valor finito (convergente) ou não (divergente).
Passo 2
Primeiro, vamos associar o termo geral da série a uma função contínua. Seja:
Vamos verificar se $ f(x) $ é positiva, contínua e decrescente para $ x \geq 2 $:
- Positiva: Para $ x \geq 2 $, tanto $ x $ quanto $ \sqrt{x^{2} - 1} $ são positivos, então $ f(x) $ é positiva.
- Contínua: A função está definida para todos os $ x \geq 2 $, sem pontos de descontinuidade.
- Decrescente: Vamos verificar a derivada para confirmar se a função está diminuindo conforme $ x $ aumenta.
Calculando a derivada de $ f(x) $:
Usando a regra do quociente e a cadeia, constatamos que $ f’(x) < 0 $ para $ x \geq 2 $, ou seja, a função é decrescente.
Assim, $ f(x) $ atende todas as hipóteses do Teste da Integral.
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral imprópria de $ f(x) $ de 2 até o infinito:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
Então,
Derivando ambos os lados em relação a $ x $:
Substituindo na integral:
Como $ x^{2} = u^{2} + 1 $:
Passo 4
Agora, avaliamos o limite da integral de 2 ao infinito:
Sabemos que:
Portanto:
Como o resultado é finito ($ \frac{\pi}{3} $), a integral converge.
Resposta
Pelo Teste da Integral, a série $ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{n \sqrt{n^{2}-1}} $ converge.