Exercício 1: Uma linha automatizada produz sensores, e a probabilidade de um sensor ser defeituoso é
. Em um lote de 5 sensores, qual a probabilidade de exatamente 2 serem defeituosos?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pergunta claramente o que quer:
- Probabilidade de um sensor ser defeituoso:
. - Tamanho do lote:
sensores (cada sensor é uma tentativa independente). - Pergunta: qual a probabilidade de exatamente
sensores serem defeituosos no lote de ?
Passo 2
Método escolhido e fórmula que vamos usar (explicação didática):
Quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com a mesma probabilidade de “sucesso” (aqui “sucesso” = sensor defeituoso), a probabilidade de ocorrer exatamente sucessos em
tentativas é dada por
Quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com a mesma probabilidade de “sucesso” (aqui “sucesso” = sensor defeituoso), a probabilidade de ocorrer exatamente
Explicando cada parte dessa fórmula, devagar e sem medo:
-
é o número total de tentativas (aqui ). -
é o número de sucessos que queremos (aqui ). -
é a probabilidade de sucesso em uma tentativa (aqui ). -
é a probabilidade de fracasso em uma tentativa (aqui ). -
é o número de maneiras diferentes de escolher quais tentativas serão as que deram sucesso. Esse fator conta as diferentes configurações (ordens) onde exatamente sensores são defeituosos, porque não nos importa a ordem, apenas quais são.
A combinação
é calculada por
onde
(lê-se “m fatorial”) é o produto dos inteiros de
até
. Exemplos:
,
,
.
Passo 3
Calcular a combinação
:
Agora calculando os fatoriais:
Portanto
Passo 4
Calcular as potências
e
:
Calculemos
passo a passo:
Passo 5
Agora substituímos tudo na fórmula e multiplicamos, com contas fáceis de acompanhar:
Multiplicando:
Passo 6
Interpretação rápida e dica para a prova:
- A probabilidade de exatamente
sensores serem defeituosos é , ou seja cerca de . - Dica: em provas, memorize a fórmula e pratique calcular
e potências simples sem calculadora; aqui os números são convenientes para fazer à mão.