Exercício 1: Uma linha automatizada produz sensores, e a probabilidade de um sensor ser defeituoso é \mathrm{p}=0,1. Em um lote de 5 sensores, qual a probabilidade de exatamente 2 serem defeituosos?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pergunta claramente o que quer:
  • Probabilidade de um sensor ser defeituoso: p=0,1.
  • Tamanho do lote: n=5 sensores (cada sensor é uma tentativa independente).
  • Pergunta: qual a probabilidade de exatamente 2 sensores serem defeituosos no lote de 5?

Passo 2

Método escolhido e fórmula que vamos usar (explicação didática):
Quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com a mesma probabilidade de “sucesso” (aqui “sucesso” = sensor defeituoso), a probabilidade de ocorrer exatamente k sucessos em n tentativas é dada por
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^k(1-p)^{\,n-k}.
Explicando cada parte dessa fórmula, devagar e sem medo:
  • n é o número total de tentativas (aqui n=5).
  • k é o número de sucessos que queremos (aqui k=2).
  • p é a probabilidade de sucesso em uma tentativa (aqui p=0,1).
  • 1-p é a probabilidade de fracasso em uma tentativa (aqui 1-p=0,9).
  • \binom{n}{k} é o número de maneiras diferentes de escolher quais k tentativas serão as que deram sucesso. Esse fator conta as diferentes configurações (ordens) onde exatamente k sensores são defeituosos, porque não nos importa a ordem, apenas quais são.
A combinação \binom{n}{k} é calculada por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde m! (lê-se “m fatorial”) é o produto dos inteiros de 1 até m. Exemplos: 3!=3\cdot2\cdot1=6, 4!=24, 5!=120.

Passo 3

Calcular a combinação \binom{5}{2}:
\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!\,3!}.
Agora calculando os fatoriais:
5!=120,\qquad 2!=2,\qquad 3!=6.
Portanto
\binom{5}{2}=\frac{120}{2\cdot6}=\frac{120}{12}=10.

Passo 4

Calcular as potências p^k e (1-p)^{\,n-k}:
p^k=(0,1)^2=0,01.
1-p=0,9\quad\Rightarrow\quad(1-p)^{\,n-k}=(0,9)^{3}.
Calculemos (0,9)^3 passo a passo:
(0,9)^2=0,81,
(0,9)^3=0,81\cdot0,9=0,729.

Passo 5

Agora substituímos tudo na fórmula e multiplicamos, com contas fáceis de acompanhar:
P(X=2)=\binom{5}{2}\,p^2(1-p)^{3}=10\cdot0,01\cdot0,729.
Multiplicando:
10\cdot0,01=0,1,
0,1\cdot0,729=0,0729.

Passo 6

Interpretação rápida e dica para a prova:
  • A probabilidade de exatamente 2 sensores serem defeituosos é \,0,0729, ou seja cerca de 7,29\%.
  • Dica: em provas, memorize a fórmula e pratique calcular \binom{n}{k} e potências simples sem calculadora; aqui os números são convenientes para fazer à mão.

Resposta

\,0,0729

Exercícios relacionados