Exercício 4 (S.1.6)
Encontre os valores de
e
para os quais
se transforma numa equação homogênea por meio de uma mudança de variáveis da forma
.
Encontre os valores de
Passo 1
O enunciado dá a EDO de primeira ordem
e pede os valores de
e
para os quais, por uma mudança de variável
a equação se torne homogênea em
. Vamos usar a definição: uma função
é homogênea de grau se
é homogênea de grau
Ao transformar a eq. em termos de
, exigiremos que o lado direito seja homogêneo.
Passo 2
Fazendo
temos
Substituindo em
Chamando
queremos
para algum
.
Passo 3
Calculemos
Para que isso seja igual a
precisamos
Logo
Passo 4
Da segunda igualdade
tiramos a condição que relaciona
e
. Ou seja, existe mudança
que torna
homogênea se, e somente se,
Em particular, para quaisquer
com
podemos escolher
e aí
ficará homogênea de grau
.
Resposta
A condição necessária e suficiente é
isto é, basta tomar
para que a mudança
transforme a EDO numa equação homogênea.