Exercício 4 (S.1.6)
Encontre os valores de alpha e beta para os quais
x^prime=alpha t^alpha+beta x^beta
se transforma numa equação homogênea por meio de uma mudança de variáveis da forma x=y^m.

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem
x' = alpha,t^alpha ;+;beta,x^beta
e pede os valores de alpha e beta para os quais, por uma mudança de variável
x = y^m,
a equação se torne homogênea em (t,y). Vamos usar a definição: uma função
f(t,y)
é homogênea de grau n se
f(lambda t,;lambda y)=lambda^n,f(t,y)
Ao transformar a eq. em termos de y, exigiremos que o lado direito seja homogêneo.

Passo 2

Fazendo x=y^m temos
x'=ddt(y^m) = m,y^m-1,y'
Substituindo em x'=alpha,t^alpha+beta,x^beta
m,y^m-1,y' ;=;alpha,t^alpha ;+;beta,l(y^mr)^beta =alpha,t^alpha+beta,y^mbeta
Chamando
F(t,y)=alpha,t^alpha+beta,y^mbeta,
queremos F(lambda t,lambda y)=lambda^n F(t,y) para algum n.

Passo 3

Calculemos
F(lambda t,lambda y) =alpha,(lambda t)^alpha+beta,(lambda y)^mbeta =alpha,lambda^alphat^alpha+beta,lambda^mbetay^mbeta
Para que isso seja igual a lambda^n[alpha,t^alpha+beta,y^mbeta] precisamos
lambda^alpha=lambda^n e lambda^mbeta=lambda^n foralllambda
Logo
n=alpha e m,beta=n=alpha

Passo 4

Da segunda igualdade m,beta=alpha tiramos a condição que relaciona alpha e beta. Ou seja, existe mudança x=y^m que torna F homogênea se, e somente se,
alpha = m,beta
Em particular, para quaisquer alpha,beta com betaneq0 podemos escolher
m=alphabeta,
e aí F ficará homogênea de grau n=alpha.

Resposta

A condição necessária e suficiente é
boxedalpha = m,beta,
isto é, basta tomar
m=alphabeta,
para que a mudança x=y^m transforme a EDO numa equação homogênea.

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