Exercício 3.3.4. Sabe-se que 80 % dos pênaltis marcados a favor do Brasil são cobrados por jogadores que atuam na Europa. A probabilidade de um pênalti ser convertido é de 40 % se o cobrador atua na Europa e de 70 % caso contrário. Um pênalti a favor do Brasil acaba de ser marcado:
a) Qual a probabilidade do pênalti ser cobrado por um jogador que atua na Europa e ser convertido?
b) Qual a probabilidade do pênalti ser convertido?
c) Um pênalti foi marcado a favor do Brasil e acabou de ser desperdiçado. Qual é a probabilidade de que o cobrador tenha sido um jogador que atua na Europa?

Passo 1

Resumindo o enunciado: seja E o evento “o cobrador atua na Europa” e C o evento “o pênalti é convertido”. Sabemos que
P(E)=0,8, P(E^c)=0,2,
P(Cmid E)=0,4, P(Cmid E^c)=0,7
O conteúdo usado será probabilidade condicional, Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes.

Passo 2

Para a letra (a) queremos
P(Ecap C)=P(E),P(Cmid E)
Substituindo os valores dados,
P(Ecap C)=0,8times0,4=0,32

Passo 3

Para a letra (b) aplicamos o Teorema da Probabilidade Total:
P(C)=P(E),P(Cmid E)+P(E^c),P(Cmid E^c)
Logo,
P(C)=0,8times0,4+0,2times0,7=0,32+0,14=0,46

Passo 4

Na letra (c) sabemos que o pênalti foi desperdiçado, ou seja, ocorreu o evento D=C^c. Queremos
P(Emid D)=P(Ecap D)P(D)
Note que P(Dmid E)=1-P(Cmid E)=0,6 e P(Dmid E^c)=1-P(Cmid E^c)=0,3. Então
P(Ecap D)=P(E),P(Dmid E)=0,8times0,6=0,48,
P(D)=P(E),P(Dmid E)+P(E^c),P(Dmid E^c)=0,48+0,2times0,3=0,48+0,06=0,54,
P(Emid D)=0,480,54=89approx0,8889

Resposta

a) 0,32
b) 0,46
c) tfrac89approx0,8889

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