Exercício 3.3.5. Durante o mês de março a probabilidade de chuva em um dia determinado é de 40%. O Goiás ganha um jogo em um dia com chuva com probabilidade 510 e em um dia sem chuva com probabilidade de 610. Sabendo-se que o Goiás ganhou um jogo naquele dia de março, qual a probabilidade de que choveu nesse dia?

Passo 1

Resumindo o enunciado, chamamos
R = “choveu naquele dia” e neg R = “não choveu naquele dia”,
W = “Goiás ganhou o jogo”.
Em março temos
P(R)=0,4 e P(neg R)=1-0,4=0,6,
além de P(Wmid R)=tfrac510 e P(Wmid neg R)=tfrac610.
O objetivo é calcular P(Rmid W) usando o Teorema de Bayes.

Passo 2

Para aplicar Bayes precisamos de P(W), que obtemos pela Lei da Probabilidade Total:
P(W)=P(Wmid R),P(R)+P(Wmid neg R),P(neg R)

Passo 3

Substituindo os valores:
P(W)=tfrac510cdot0,4 ;+;tfrac610cdot0,6 =0,2+0,36=0,56

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema de Bayes:
P(Rmid W) =P(Wmid R),P(R)P(W) =0,20,56 =514approx0,3571

Resposta

A probabilidade de ter chovido dado que o Goiás ganhou é tfrac514 (aproximadamente 0,357).

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