3.3 Fórmula da Probabilidade Total
Exemplo 3.3.1. Três urnas I, II e III contêm respectivamente 1 bola branca e 2 pretas, 2 brancas e 1 preta e 3 brancas e 2 pretas. Uma urna é escolhida ao acaso e dela é retirada uma bola, que é branca. Qual é a probabilidade condicional de que a urna escolhida foi a II?
Exemplo 3.3.1. Três urnas I, II e III contêm respectivamente 1 bola branca e 2 pretas, 2 brancas e 1 preta e 3 brancas e 2 pretas. Uma urna é escolhida ao acaso e dela é retirada uma bola, que é branca. Qual é a probabilidade condicional de que a urna escolhida foi a II?
Passo 1
O enunciado diz que há três urnas I, II e III, cada uma escolhida com probabilidade igual, contendo respectivamente 1 branca e 2 pretas; 2 brancas e 1 preta; e 3 brancas e 2 pretas. Retirou-se uma bola que saiu branca. Queremos a probabilidade de que a urna escolhida tenha sido a II, ou seja
. Para isso vamos usar probabilidade total e fórmula de Bayes.
Passo 2
Como cada urna é escolhida ao acaso,
.
As probabilidades de tirar branca em cada urna são
,
,
.
As probabilidades de tirar branca em cada urna são
Passo 3
Usando a fórmula da probabilidade total para
:
Passo 4
Agora aplicamos Bayes para achar
: