3.3 Fórmula da Probabilidade Total
Exemplo 3.3.1. Três urnas I, II e III contêm respectivamente 1 bola branca e 2 pretas, 2 brancas e 1 preta e 3 brancas e 2 pretas. Uma urna é escolhida ao acaso e dela é retirada uma bola, que é branca. Qual é a probabilidade condicional de que a urna escolhida foi a II?

Passo 1

O enunciado diz que há três urnas I, II e III, cada uma escolhida com probabilidade igual, contendo respectivamente 1 branca e 2 pretas; 2 brancas e 1 preta; e 3 brancas e 2 pretas. Retirou-se uma bola que saiu branca. Queremos a probabilidade de que a urna escolhida tenha sido a II, ou seja Pr(IImid B). Para isso vamos usar probabilidade total e fórmula de Bayes.

Passo 2

Como cada urna é escolhida ao acaso,
Pr(I)=Pr(II)=Pr(III)=tfrac13.
As probabilidades de tirar branca em cada urna são
Pr(Bmid I)=tfrac13,
Pr(Bmid II)=tfrac23,
Pr(Bmid III)=tfrac35.

Passo 3

Usando a fórmula da probabilidade total para Pr(B):
Pr(B) =Pr(I),Pr(Bmid I) +Pr(II),Pr(Bmid II) +Pr(III),Pr(Bmid III) =tfrac13!cdot!tfrac13 +tfrac13!cdot!tfrac23 +tfrac13!cdot!tfrac35 =tfrac815

Passo 4

Agora aplicamos Bayes para achar Pr(IImid B):
Pr(IImid B) =Pr(II),Pr(Bmid II)Pr(B) =tfrac13!cdot!tfrac23tfrac815 =2/98/15 =512

Resposta

512

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