Exemplo 3.3.2. Jogamos um dado honesto e em seguida lançamos tantas moedas honestas como os pontos indicados no dado.
(a) Qual a probabilidade de obter quatro caras?
(b) Dado que foram obtidas quatro caras, qual a probabilidade de que o dado tenha mostrado seis pontos?
(a) Qual a probabilidade de obter quatro caras?
(b) Dado que foram obtidas quatro caras, qual a probabilidade de que o dado tenha mostrado seis pontos?
Passo 1
O enunciado define o seguinte experimento composto: primeiro lançamos um dado honesto e anotamos
; em seguida lançamos
moedas honestas e contamos o número de caras, que chamamos de
. Precisamos calcular
(a) usando o Teorema da Probabilidade Total e a distribuição Binomial;
(b) usando a fórmula de Bayes.
(a)
(b)
Passo 2
Pela Probabilidade Total,
Como
e para
vale
, reduzimos a soma a
Passo 3
Para cada
, a condição
implica
, logo
Substituindo em
:
Passo 4
Para somar
num mesmo denominador
:
logo
Portanto
Passo 5
Para a probabilidade condicional
, usamos Bayes: