Exemplo 3.3.2. Jogamos um dado honesto e em seguida lançamos tantas moedas honestas como os pontos indicados no dado.
(a) Qual a probabilidade de obter quatro caras?
(b) Dado que foram obtidas quatro caras, qual a probabilidade de que o dado tenha mostrado seis pontos?

Passo 1

O enunciado define o seguinte experimento composto: primeiro lançamos um dado honesto e anotamos Din1,2,3,4,5,6; em seguida lançamos D moedas honestas e contamos o número de caras, que chamamos de Y. Precisamos calcular
(a) P(Y=4) usando o Teorema da Probabilidade Total e a distribuição Binomial;
(b) P(D=6mid Y=4) usando a fórmula de Bayes.

Passo 2

Pela Probabilidade Total,
P(Y=4) =sumk=1^6P(D=k),P(Y=4 mid D=k)
Como P(D=k)=tfrac16 e para k<4 vale P(Y=4mid D=k)=0, reduzimos a soma a
P(Y=4) =16sumk=4^6P(Y=4mid D=k)

Passo 3

Para cada k>=4, a condição D=k implica YsimBin(k,0.5), logo
P(Y=4mid D=k) =binomk42^k
Substituindo em P(Y=4):
P(Y=4) =16l(binom442^4+binom542^5+binom642^6r) =16l(116+532+1564r)

Passo 4

Para somar tfrac116+tfrac532+tfrac1564 num mesmo denominador 64:
116=464, 532=1064, 1564=1564,
logo
116+532+1564 =4+10+1564 =2964
Portanto
P(Y=4) =16times2964 =29384

Passo 5

Para a probabilidade condicional P(D=6mid Y=4), usamos Bayes:
P(D=6mid Y=4) =P(D=6),P(Y=4mid D=6)P(Y=4) =tfrac16timestfracbinom642^6tfrac29384 =tfrac16timestfrac1564tfrac29384 =tfrac15384tfrac29384 =1529

Resposta

P(Y=4)=dfrac29384
P(D=6mid Y=4)=dfrac1529

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