Exercício 9. Sabe-se que 0,6 \% dos parafusos produzidos em uma fábrica são defeituosos. Usando a aproximação da Binomial pela Poisson, estime a probabilidade de que, em um pacote com 1000 parafusos:
não tenhamos mais do que 4 parafusos defeituosos;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem clara.
Dados fornecidos:
\text{Taxa de defeito} = 0,6\% = 0,006.
\text{Tamanho do pacote} = 1000.
O que se pede:
Calcular a probabilidade de que, em um pacote com 1000 parafusos, não tenhamos mais do que 4 parafusos defeituosos — isto é, a probabilidade de ocorrerem no máximo 4 defeitos (evento \{X\le 4\}).

Passo 2

Escolha do método (explicação curta e honesta do porquê): o modelo natural para contar defeitos em n itens com probabilidade p de defeito é a Binomial. Porém, quando n é grande e p é pequeno, costuma-se aproximar a Binomial por uma Poisson com parâmetro \lambda = n p. Aqui n=1000 é grande, p=0,006 é pequeno, e np é moderado (vamos calcular). Por isso a aproximação Binomial \to Poisson é adequada e muito prática para cálculo manual/rápido em prova.

Passo 3

Modelo binomial (o que seria o problema original):
Se X é o número de parafusos defeituosos no pacote, então, no modelo exato,
X \sim \text{Binomial}(n,p),
onde n é o número de ensaios (aqui n=1000) e p é a probabilidade de sucesso (aqui “sucesso” = ser defeituoso, p=0,006). A função massa de probabilidade da Binomial é
\mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{\,n-k},
onde \binom{n}{k} é o coeficiente binomial. Calcular \mathbb{P}(X\le4) exatamente com essa fórmula daria somas de termos com \binom{1000}{k} — trabalhoso sem computador.

Passo 4

Modelo Poisson (a ideia da aproximação) — aula rápida:
A distribuição de Poisson com parâmetro \lambda>0 é usada para contar ocorrências raras. Se Y\sim\text{Poisson}(\lambda), então a massa de probabilidade é
\mathbb{P}(Y=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},\qquad k=0,1,2,\dots
Na aproximação Binomial \to Poisson usamos \lambda = n p. A justificativa (sem prova formal agora) é que para n grande e p pequeno com np fixo, os termos binomiais convergem aos termos da Poisson.

Passo 5

Calculemos o parâmetro \lambda:
\lambda = n p = 1000\cdot 0,006 = 6.
Então vamos aproximar X por Y\sim\text{Poisson}(6).

Passo 6

Expressão da probabilidade desejada usando Poisson:
Queremos \mathbb{P}(X\le 4). Pela aproximação,
\mathbb{P}(X\le 4)\approx \mathbb{P}(Y\le 4)=\sum_{k=0}^{4} e^{-6}\frac{6^{k}}{k!}.
Isto é a soma das probabilidades de k=0,1,2,3,4 ocorrências sob Poisson com \lambda=6.

Passo 7

Calcule termo a termo (vou mostrar como obter cada parcela e somar):
Primeiro, o fator comum é e^{-6}. Numericamente (valor padrão usado em cálculo):
e^{-6}\approx 0,0024787521766663585.
Agora cada termo e^{-6}\frac{6^{k}}{k!}:
  • Para k=0:
\mathbb{P}(Y=0)=e^{-6}\frac{6^{0}}{0!}=e^{-6}\approx 0,0024787521766663585.
  • Para k=1:
\mathbb{P}(Y=1)=e^{-6}\frac{6^{1}}{1!}=6e^{-6}\approx 6\cdot 0,0024787521766663585 = 0,014872513059998151.
  • Para k=2:
\mathbb{P}(Y=2)=e^{-6}\frac{6^{2}}{2!}=18e^{-6}\approx 18\cdot 0,0024787521766663585 = 0,044617539179994453.
  • Para k=3:
\mathbb{P}(Y=3)=e^{-6}\frac{6^{3}}{3!}=36e^{-6}\approx 36\cdot 0,0024787521766663585 = 0,089235078359988906.
  • Para k=4:
\mathbb{P}(Y=4)=e^{-6}\frac{6^{4}}{4!}=54e^{-6}\approx 54\cdot 0,0024787521766663585 = 0,13385261753998336.

Passo 8

Soma das probabilidades (atento às casas decimais — vou somar passo a passo):
\begin{aligned} \mathbb{P}(Y\le4)&=\mathbb{P}(Y=0)+\mathbb{P}(Y=1)+\mathbb{P}(Y=2)+\mathbb{P}(Y=3)+\mathbb{P}(Y=4)\\[4pt] &\approx 0,0024787522+0,0148725131+0,0446175392+0,0892350784+0,1338526175. \end{aligned}
Somando:
\mathbb{P}(Y\le4)\approx 0,2850565003.
Arredondando de forma prática para a prova, podemos usar 0,2851 ou 0,28506 dependendo do número de casas pedidas. Em porcentagem isso é cerca de 28,51\%.]

Passo 9

Comentário final e checagem curta:
A proximidade da aproximação é boa aqui porque n é grande e p pequeno; o valor exato pela Binomial daria um número muito próximo (mas mais trabalhoso de calcular à mão). Então a resposta estimada é confiável para uso em prova.

Resposta

0,28506

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