Exercício 9. Sabe-se que
dos parafusos produzidos em uma fábrica são defeituosos. Usando a aproximação da Binomial pela Poisson, estime a probabilidade de que, em um pacote com 1000 parafusos:
não tenhamos mais do que 4 parafusos defeituosos;
não tenhamos mais do que 4 parafusos defeituosos;
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem clara.
Dados fornecidos:
O que se pede:
Calcular a probabilidade de que, em um pacote com 1000 parafusos, não tenhamos mais do que 4 parafusos defeituosos — isto é, a probabilidade de ocorrerem no máximo 4 defeitos (evento ).
Calcular a probabilidade de que, em um pacote com 1000 parafusos, não tenhamos mais do que 4 parafusos defeituosos — isto é, a probabilidade de ocorrerem no máximo 4 defeitos (evento
Passo 2
Escolha do método (explicação curta e honesta do porquê): o modelo natural para contar defeitos em
itens com probabilidade
de defeito é a Binomial. Porém, quando
é grande e
é pequeno, costuma-se aproximar a Binomial por uma Poisson com parâmetro
. Aqui
é grande,
é pequeno, e
é moderado (vamos calcular). Por isso a aproximação Binomial
Poisson é adequada e muito prática para cálculo manual/rápido em prova.
Passo 3
Modelo binomial (o que seria o problema original):
Se é o número de parafusos defeituosos no pacote, então, no modelo exato,
Se
onde
é o número de ensaios (aqui
) e
é a probabilidade de sucesso (aqui “sucesso” = ser defeituoso,
). A função massa de probabilidade da Binomial é
onde
é o coeficiente binomial. Calcular
exatamente com essa fórmula daria somas de termos com
— trabalhoso sem computador.
Passo 4
Modelo Poisson (a ideia da aproximação) — aula rápida:
A distribuição de Poisson com parâmetro é usada para contar ocorrências raras. Se
, então a massa de probabilidade é
A distribuição de Poisson com parâmetro
Na aproximação Binomial
Poisson usamos
. A justificativa (sem prova formal agora) é que para
grande e
pequeno com
fixo, os termos binomiais convergem aos termos da Poisson.
Passo 5
Calculemos o parâmetro
:
Então vamos aproximar
por
.
Passo 6
Expressão da probabilidade desejada usando Poisson:
Queremos . Pela aproximação,
Queremos
Isto é a soma das probabilidades de
ocorrências sob Poisson com
.
Passo 7
Calcule termo a termo (vou mostrar como obter cada parcela e somar):
Primeiro, o fator comum é . Numericamente (valor padrão usado em cálculo):
Primeiro, o fator comum é
Agora cada termo
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 8
Soma das probabilidades (atento às casas decimais — vou somar passo a passo):
Somando:
Arredondando de forma prática para a prova, podemos usar
ou
dependendo do número de casas pedidas. Em porcentagem isso é cerca de
.]
Passo 9
Comentário final e checagem curta:
A proximidade da aproximação é boa aqui porque é grande e
pequeno; o valor exato pela Binomial daria um número muito próximo (mas mais trabalhoso de calcular à mão). Então a resposta estimada é confiável para uso em prova.
A proximidade da aproximação é boa aqui porque