Exercício 8. Suponha que 1% das lâmpadas de enfeite de natal de certa marca apresentem defeito. Estime a probabilidade de que uma caixa com 30 lâmpadas contenha no máximo uma lâmpada com defeito. (Dica: Aproxime essa probabilidade pela distribuição Poisson)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que segue:
- Temos caixas com
lâmpadas. - A proporção (probabilidade) de lâmpadas defeituosas é
(ou seja, ). - Queremos estimar a probabilidade de que a caixa contenha no máximo uma lâmpada com defeito, isto é, calcular a probabilidade de ocorrer
ou defeito na caixa: . - O enunciado sugere aproximar essa probabilidade pela distribuição de Poisson.
Passo 2
Modelagem do problema (o pensamento antes de calcular): se a ocorrência de defeitos em cada lâmpada é independente e a probabilidade individual é
, o número total de defeitos na caixa segue uma distribuição binomial com parâmetros
e
. Ou seja,
Mas o enunciado pede (e é comum em provas) usar a aproximação por Poisson quando
é relativamente grande e
é pequeno, mantendo
moderado. Vou seguir essa dica: aproximamos
por uma variável
com distribuição de Poisson de média
. A vantagem é que a fórmula do Poisson é simples e dá bons resultados quando
é pequeno.
Passo 3
Cálculo da média
da Poisson a partir dos parâmetros binomiais:
Passo 4
Fórmula da distribuição de Poisson e probabilidade desejada. Se
, então a função massa é
Queremos
. Escrevendo as duas parcelas:
Passo 5
Somando as duas probabilidades e substituindo
:
Passo 6
Avaliação numérica. Primeiro computamos
(valor aproximado) e depois multiplicamos:
Arredondando em quatro casas decimais, obtemos aproximadamente
. Ou seja, cerca de
de chance de a caixa ter no máximo uma lâmpada defeituosa, segundo a aproximação de Poisson.
Passo 7
Verificação rápida (opcional, só para ver que a aproximação é boa): a probabilidade exata pelo modelo binomial é
Calculando numericamente isso dá aproximadamente
, bem próximo de
. Então a aproximação de Poisson foi adequada aqui (diferença pequena, inferior a
).
Passo 8
Resumo prático para a prova: identificar
e
, calcular
, usar a fórmula do Poisson para
e
, somar e avaliar numericamente. Isso costuma ser rápido e confiável quando
é pequeno.