Exercício 8. Suponha que 1% das lâmpadas de enfeite de natal de certa marca apresentem defeito. Estime a probabilidade de que uma caixa com 30 lâmpadas contenha no máximo uma lâmpada com defeito. (Dica: Aproxime essa probabilidade pela distribuição Poisson)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que segue:
  • Temos caixas com 30 lâmpadas.
  • A proporção (probabilidade) de lâmpadas defeituosas é 0,01 (ou seja, 1\%).
  • Queremos estimar a probabilidade de que a caixa contenha no máximo uma lâmpada com defeito, isto é, calcular a probabilidade de ocorrer 0 ou 1 defeito na caixa: P(X\le 1).
  • O enunciado sugere aproximar essa probabilidade pela distribuição de Poisson.

Passo 2

Modelagem do problema (o pensamento antes de calcular): se a ocorrência de defeitos em cada lâmpada é independente e a probabilidade individual é 0,01, o número total de defeitos na caixa segue uma distribuição binomial com parâmetros n=30 e p=0,01. Ou seja,
X \sim \text{Binomial}(n=30,p=0,01).
Mas o enunciado pede (e é comum em provas) usar a aproximação por Poisson quando n é relativamente grande e p é pequeno, mantendo \lambda = np moderado. Vou seguir essa dica: aproximamos X por uma variável Y com distribuição de Poisson de média \lambda=np. A vantagem é que a fórmula do Poisson é simples e dá bons resultados quando p é pequeno.

Passo 3

Cálculo da média \lambda da Poisson a partir dos parâmetros binomiais:
\lambda = n p = 30 \cdot 0,01 = 0,3.

Passo 4

Fórmula da distribuição de Poisson e probabilidade desejada. Se Y\sim\text{Poisson}(\lambda), então a função massa é
P(Y=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}\quad\text{para }k=0,1,2,\dots
Queremos P(Y\le 1)=P(Y=0)+P(Y=1). Escrevendo as duas parcelas:
P(Y=0)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{0}}{0!}=e^{-\lambda},
P(Y=1)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{1}}{1!}=e^{-\lambda}\lambda.

Passo 5

Somando as duas probabilidades e substituindo \lambda=0,3:
P(Y\le 1)=e^{-\lambda}(1+\lambda)=e^{-0,3}(1+0,3)=e^{-0,3}\cdot 1,3.

Passo 6

Avaliação numérica. Primeiro computamos e^{-0,3} (valor aproximado) e depois multiplicamos:
e^{-0,3}\approx 0,740818\quad\Rightarrow\quad P(Y\le 1)\approx 0,740818\cdot 1,3 \approx 0,9630634.
Arredondando em quatro casas decimais, obtemos aproximadamente 0,9631. Ou seja, cerca de 96{,}31\% de chance de a caixa ter no máximo uma lâmpada defeituosa, segundo a aproximação de Poisson.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, só para ver que a aproximação é boa): a probabilidade exata pelo modelo binomial é
P(X\le 1)=(0,99)^{30}+30\cdot 0,01\cdot (0,99)^{29}.
Calculando numericamente isso dá aproximadamente 0,96385, bem próximo de 0,96306. Então a aproximação de Poisson foi adequada aqui (diferença pequena, inferior a 0,001).

Passo 8

Resumo prático para a prova: identificar n e p, calcular \lambda=np, usar a fórmula do Poisson para k=0 e k=1, somar e avaliar numericamente. Isso costuma ser rápido e confiável quando p é pequeno.

Resposta

0,9631

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