Exercício 9. Sabe-se que 0,6 \% dos parafusos produzidos em uma fábrica são defeituosos. Usando a aproximação da Binomial pela Poisson, estime a probabilidade de que, em um pacote com 1000 parafusos:
tenhamos exatamente 4 parafusos defeituosos;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta:
  • Taxa de defeito: 0{,}6\% dos parafusos são defeituosos.
  • Tamanho do pacote: 1000 parafusos.
  • Pergunta: estimar a probabilidade de que, num pacote com 1000 parafusos, tenhamos exatamente 4 parafusos defeituosos.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A probabilidade de defeito de um parafuso é p=0{,}6\%=0{,}006.
  • O número de ensaios é n=1000.
  • Queremos P(X=4), onde X é o número de parafusos defeituosos no pacote.

Passo 2

Qual é a ideia geral que vou usar (sem mistério): a variável exata seria binomial, isto é, X\sim\text{Binomial}(n,p) com n=1000 e p=0{,}006. O enunciado já diz para usar a aproximação da Binomial pela Poisson, então vou fazer exatamente isso.
Por que essa aproximação faz sentido (explicando devagar)? A aproximação de Poisson é usada quando:
  • n é grande (aqui 1000 é grande),
  • p é pequeno (aqui 0{,}006 é pequeno),
  • e o produto np tem um valor moderado (aqui np será 6, que é perfeitamente razoável para Poisson).
Então estamos em boa forma para aplicar a aproximação Poisson.

Passo 3

Calcular o parâmetro \lambda da Poisson. A regra da aproximação diz que a Poisson tem parâmetro
\lambda = n p.
Substituindo os valores dados:
\lambda = 1000 \cdot 0{,}006 = 6.

Passo 4

Escrever a fórmula da função massa de probabilidade (pmf) da Poisson e explicar cada parte. Se Y\sim\text{Poisson}(\lambda), então
P(Y=k) = e^{-\lambda}\,\frac{\lambda^{k}}{k!}.
O que isto significa:
  • e^{-\lambda} é a parte que normaliza a distribuição (vem da soma das probabilidades).
  • \lambda^{k} cresce com o número de sucessos que queremos.
  • k! é o fatorial que corrige a contagem de permutações (por exemplo, 4! = 4\cdot3\cdot2\cdot1).
Aqui queremos exatamente 4 defeituosos, então vamos usar k=4 e \lambda=6.

Passo 5

Substituir na fórmula para k=4:
P(X=4)\approx e^{-6}\,\frac{6^{4}}{4!}.
Agora vamos calcular passo a passo os termos numéricos:
  • Calcular 6^{4}. Primeiro 6^{2}=36. Então 6^{4}=(6^{2})^{2}=36^{2}=1296.
  • Calcular 4!. Temos 4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24.
  • Dividir 6^{4} por 4!:
\frac{6^{4}}{4!}=\frac{1296}{24}=54.
Logo a expressão fica
P(X=4)\approx 54\,e^{-6}.

Passo 6

Agora precisamos do valor numérico de e^{-6}. Uma tabela ou calculadora dá
e^{-6}\approx 0{,}0024787521766663585.
Multiplicando por 54:
P(X=4)\approx 54 \times 0{,}0024787521766663585 \approx 0{,}1338526175.
Se preferir pensar em porcentagem, isso é cerca de 13{,}385\%.

Passo 7

Interpretação e checagem rápida: a probabilidade de exatamente 4 defeituosos é aproximadamente 0{,}13385. Faz sentido intuitivo: como a média esperada é \lambda=6, a chance de observar exatamente 4 (um pouco abaixo da média) é razoavelmente alta (em torno de 13\%).

Passo 8

Resumo do procedimento para a prova (para você decorar e aplicar rápido):
  1. Identifique n e p.
  2. Verifique que n é grande e p pequeno; calcule \lambda=np.
  3. Use a fórmula da Poisson P(k)=e^{-\lambda}\lambda^{k}/k!.
  4. Calcule k! e \lambda^{k} manualmente (isso costuma ser fácil).
  5. Multiplique por e^{-\lambda} (a parte que normalmente precisa de tabela ou calculadora) e dê a resposta decimal ou em porcentagem.
Vai dar certo — respira fundo e faz com calma na prova!

Resposta

\,P(X=4)\approx0{,}1338526

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