Exercício 9. Sabe-se que
dos parafusos produzidos em uma fábrica são defeituosos. Usando a aproximação da Binomial pela Poisson, estime a probabilidade de que, em um pacote com 1000 parafusos:
tenhamos exatamente 4 parafusos defeituosos;
tenhamos exatamente 4 parafusos defeituosos;
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta:
- Taxa de defeito:
dos parafusos são defeituosos. - Tamanho do pacote:
parafusos. - Pergunta: estimar a probabilidade de que, num pacote com
parafusos, tenhamos exatamente parafusos defeituosos.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A probabilidade de defeito de um parafuso é
. - O número de ensaios é
. - Queremos
, onde é o número de parafusos defeituosos no pacote.
Passo 2
Qual é a ideia geral que vou usar (sem mistério): a variável exata seria binomial, isto é,
com
e
. O enunciado já diz para usar a aproximação da Binomial pela Poisson, então vou fazer exatamente isso.
Por que essa aproximação faz sentido (explicando devagar)? A aproximação de Poisson é usada quando:
-
é grande (aqui é grande), -
é pequeno (aqui é pequeno), - e o produto
tem um valor moderado (aqui será , que é perfeitamente razoável para Poisson).
Então estamos em boa forma para aplicar a aproximação Poisson.
Passo 3
Calcular o parâmetro
da Poisson. A regra da aproximação diz que a Poisson tem parâmetro
Substituindo os valores dados:
Passo 4
Escrever a fórmula da função massa de probabilidade (pmf) da Poisson e explicar cada parte. Se
, então
O que isto significa:
-
é a parte que normaliza a distribuição (vem da soma das probabilidades). -
cresce com o número de sucessos que queremos. -
é o fatorial que corrige a contagem de permutações (por exemplo, ).
Aqui queremos exatamente
defeituosos, então vamos usar
e
.
Passo 5
Substituir na fórmula para
:
Agora vamos calcular passo a passo os termos numéricos:
- Calcular
. Primeiro . Então . - Calcular
. Temos . - Dividir
por :
Logo a expressão fica
Passo 6
Agora precisamos do valor numérico de
. Uma tabela ou calculadora dá
Multiplicando por
:
Se preferir pensar em porcentagem, isso é cerca de
.
Passo 7
Interpretação e checagem rápida: a probabilidade de exatamente
defeituosos é aproximadamente
. Faz sentido intuitivo: como a média esperada é
, a chance de observar exatamente
(um pouco abaixo da média) é razoavelmente alta (em torno de
).
Passo 8
Resumo do procedimento para a prova (para você decorar e aplicar rápido):
- Identifique
e . - Verifique que
é grande e pequeno; calcule . - Use a fórmula da Poisson
. - Calcule
e manualmente (isso costuma ser fácil). - Multiplique por
(a parte que normalmente precisa de tabela ou calculadora) e dê a resposta decimal ou em porcentagem.
Vai dar certo — respira fundo e faz com calma na prova!