Exercício 9. Sabe-se que
dos parafusos produzidos em uma fábrica são defeituosos. Usando a aproximação da Binomial pela Poisson, estime a probabilidade de que, em um pacote com 1000 parafusos:
encontrem-se pelo menos 3 parafusos defeituosos.
encontrem-se pelo menos 3 parafusos defeituosos.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Probabilidade de um parafuso ser defeituoso:
- Tamanho do pacote:
parafusos. - Pergunta: estimar a probabilidade de que, no pacote de
parafusos, encontrem-se pelo menos parafusos defeituosos, ou seja, calcular
Passo 2
Escolha do método (explicação didática do porquê):
Quando temos um grande número de tentativas independentes e a probabilidade de sucesso por tentativa
é pequena, a distribuição Binomial
pode ser bem aproximada por uma distribuição de Poisson com parâmetro
. Isso é prático porque a fórmula da Poisson é mais simples para calcular probabilidades quando
é grande. Aqui temos
(grande) e
(pequeno), portanto a aproximação é apropriada.
Quando temos um grande número de tentativas independentes
Explicando o parâmetro
:
é a média (valor esperado) da distribuição de Poisson e representa o número médio de defeituosos esperado. Ele é dado por
No nosso caso:
Passo 3
Definição e fórmula da Poisson (aula curta):
Se , então a probabilidade de
assumir o valor
é
Se
onde
é o fatorial de
(por exemplo
). Aqui usaremos
.
Queremos
. Pela aproximação usaremos
no lugar de
e calculamos
Passo 4
Cálculo termo a termo (mostrando como aplicar a fórmula):
Usando ,
Usando
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Avaliação numérica (passo a passo das multiplicações):
Primeiro usamos a aproximação numérica de . Uma boa aproximação é
Primeiro usamos a aproximação numérica de
Agora multiplicamos pelos coeficientes:
Somando os três termos:
Finalmente:
Passo 6
Interpretação final e comentário sobre a aproximação:
A probabilidade de encontrar pelo menos parafusos defeituosos num pacote de
é, pela aproximação Binomial→Poisson, cerca de
(ou
). A aproximação é confiável aqui porque
é grande e
é pequeno, e
é razoavelmente moderado (
).
A probabilidade de encontrar pelo menos