Exercício 9. Sabe-se que 0,6 \% dos parafusos produzidos em uma fábrica são defeituosos. Usando a aproximação da Binomial pela Poisson, estime a probabilidade de que, em um pacote com 1000 parafusos:
encontrem-se pelo menos 3 parafusos defeituosos.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Probabilidade de um parafuso ser defeituoso: \,0,6\%\\ = 0,006.
  • Tamanho do pacote: \,1000 parafusos.
  • Pergunta: estimar a probabilidade de que, no pacote de \,1000 parafusos, encontrem-se pelo menos \,3 parafusos defeituosos, ou seja, calcular \;P(\text{pelo menos 3 defeituosos})=P(X\ge 3).

Passo 2

Escolha do método (explicação didática do porquê):
Quando temos um grande número de tentativas independentes \,(n) e a probabilidade de sucesso por tentativa \,(p) é pequena, a distribuição Binomial \,X\sim\mathrm{Binomial}(n,p) pode ser bem aproximada por uma distribuição de Poisson com parâmetro \lambda = n p. Isso é prático porque a fórmula da Poisson é mais simples para calcular probabilidades quando n é grande. Aqui temos n=1000 (grande) e p=0,006 (pequeno), portanto a aproximação é apropriada.
Explicando o parâmetro \lambda:
\lambda é a média (valor esperado) da distribuição de Poisson e representa o número médio de defeituosos esperado. Ele é dado por
\lambda = n p.
No nosso caso:
\lambda = 1000 \times 0,006 = 6.

Passo 3

Definição e fórmula da Poisson (aula curta):
Se Y\sim\mathrm{Poisson}(\lambda), então a probabilidade de Y assumir o valor k é
P(Y=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},
onde k! é o fatorial de k (por exemplo 2! = 2\cdot1 = 2). Aqui usaremos \lambda=6.
Queremos P(X\ge 3). Pela aproximação usaremos Y no lugar de X e calculamos
P(X\ge 3)\approx P(Y\ge 3)=1-P(Y\le 2)=1-\big(P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2)\big).

Passo 4

Cálculo termo a termo (mostrando como aplicar a fórmula):
Usando \lambda=6,
  • Para k=0:
P(Y=0)=e^{-6}\frac{6^{0}}{0!}=e^{-6}.
  • Para k=1:
P(Y=1)=e^{-6}\frac{6^{1}}{1!}=6e^{-6}.
  • Para k=2:
P(Y=2)=e^{-6}\frac{6^{2}}{2!}= \frac{36}{2}\,e^{-6}=18\,e^{-6}.

Passo 5

Avaliação numérica (passo a passo das multiplicações):
Primeiro usamos a aproximação numérica de e^{-6}. Uma boa aproximação é
e^{-6}\approx 0,002478752.
Agora multiplicamos pelos coeficientes:
P(Y=0)\approx 0,002478752,
P(Y=1)\approx 6\times 0,002478752 \approx 0,014872513,
P(Y=2)\approx 18\times 0,002478752 \approx 0,044617539.
Somando os três termos:
P(Y\le 2)\approx 0,002478752 + 0,014872513 + 0,044617539 \approx 0,061968804.
Finalmente:
P(Y\ge 3)=1-P(Y\le 2)\approx 1-0,061968804 \approx 0,938031196.

Passo 6

Interpretação final e comentário sobre a aproximação:
A probabilidade de encontrar pelo menos \,3 parafusos defeituosos num pacote de \,1000 é, pela aproximação Binomial→Poisson, cerca de \,0,938 (ou 93{,}8\%). A aproximação é confiável aqui porque n é grande e p é pequeno, e \lambda = np é razoavelmente moderado ( \lambda=6).

Resposta

P(\text{pelo menos 3 defeituosos})\approx 0,938031196

Exercícios relacionados