Exercício 2. Mostrar que os conjuntos \left\{f_{1}, f_{2}, f_{3}\right\} e \left\{g_{1}, g_{2}, g_{3}\right\} geram o mesmo subespaço vetorial do espaço vetorial ( C(\mathbb{R}),+, \cdot ), onde
f_{1}(t) \doteq \operatorname{sen}^{2}(t), \quad f_{2}(t) \doteq \cos ^{2}(t), \quad f_{3}(t) \doteq \operatorname{sen}(t) \cos (t), \text { para } t \in \mathbb{R}
e
g_{1}(t) \doteq 1, \quad g_{2}(t) \doteq \operatorname{sen}(2 t), \quad g_{3}(t) \doteq \cos (2 t), \quad \text { para } t \in \mathbb{R} .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que \{f_{1},f_{2},f_{3}\} e \{g_{1},g_{2},g_{3}\} geram o mesmo subespaço de C(\mathbb{R}), onde
f_{1}(t)=\operatorname{sen}^{2}(t),\quad f_{2}(t)=\cos^{2}(t),\quad f_{3}(t)=\operatorname{sen}(t)\cos(t),
g_{1}(t)=1,\quad g_{2}(t)=\operatorname{sen}(2t),\quad g_{3}(t)=\cos(2t).
Para isso, vamos usar identidades trigonométricas conhecidas e mostrar duas inclusões de subespaços:
  1. \mathrm{span}\{f_{1},f_{2},f_{3}\}\subseteq \mathrm{span}\{g_{1},g_{2},g_{3}\}.
  2. \mathrm{span}\{g_{1},g_{2},g_{3}\}\subseteq \mathrm{span}\{f_{1},f_{2},f_{3}\}.

Passo 2

Usamos as identidades
\operatorname{sen}^{2}(t)=\frac{1-\cos(2t)}{2},\quad \cos^{2}(t)=\frac{1+\cos(2t)}{2},\quad \operatorname{sen}(t)\cos(t)=\frac{\operatorname{sen}(2t)}{2}.
Como g_{1}(t)=1, g_{2}(t)=\operatorname{sen}(2t) e g_{3}(t)=\cos(2t), segue:
f_{1}(t)=\operatorname{sen}^{2}(t)=\tfrac12\,g_{1}(t)-\tfrac12\,g_{3}(t),
f_{2}(t)=\cos^{2}(t)=\tfrac12\,g_{1}(t)+\tfrac12\,g_{3}(t),
f_{3}(t)=\operatorname{sen}(t)\cos(t)=\tfrac12\,g_{2}(t).

Passo 3

As expressões acima mostram que cada f_{i} é combinação linear dos g_{j}. Logo
\mathrm{span}\{f_{1},f_{2},f_{3}\}\subseteq \mathrm{span}\{g_{1},g_{2},g_{3}\}.

Passo 4

Agora expressamos cada g_{j} em termos dos f_{i}. Usando \operatorname{sen}^{2}(t)+\cos^{2}(t)=1 e \cos(2t)=\cos^{2}(t)-\operatorname{sen}^{2}(t), \operatorname{sen}(2t)=2\operatorname{sen}(t)\cos(t), temos:
g_{1}(t)=1=f_{1}(t)+f_{2}(t),
g_{3}(t)=\cos(2t)=\cos^{2}(t)-\operatorname{sen}^{2}(t)=f_{2}(t)-f_{1}(t),
g_{2}(t)=\operatorname{sen}(2t)=2\,\operatorname{sen}(t)\cos(t)=2\,f_{3}(t).

Passo 5

Essas fórmulas mostram que cada g_{j} é combinação linear dos f_{i}. Logo
\mathrm{span}\{g_{1},g_{2},g_{3}\}\subseteq \mathrm{span}\{f_{1},f_{2},f_{3}\}.
Juntando as duas inclusões, conclui-se que os subespaços gerados são iguais.

Resposta

Os conjuntos \{f_{1},f_{2},f_{3}\} e \{g_{1},g_{2},g_{3}\} geram o mesmo subespaço de C(\mathbb{R}).

Exercícios relacionados