Exercício 2. Mostrar que os conjuntos
e
geram o mesmo subespaço vetorial do espaço vetorial (
), onde
e
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
e
geram o mesmo subespaço de
, onde
Para isso, vamos usar identidades trigonométricas conhecidas e mostrar duas inclusões de subespaços:
-
. -
.
Passo 2
Usamos as identidades
Como
,
e
, segue:
Passo 3
As expressões acima mostram que cada
é combinação linear dos
. Logo
Passo 4
Agora expressamos cada
em termos dos
. Usando
e
,
, temos:
Passo 5
Essas fórmulas mostram que cada
é combinação linear dos
. Logo
Juntando as duas inclusões, conclui-se que os subespaços gerados são iguais.
Resposta
Os conjuntos
e
geram o mesmo subespaço de
.