Exercício 3. Sabendo que \cos (\theta)=-\frac{\sqrt{5}}{5} e que \theta está no terceiro quadrante, determine os valores das outras cinco funções trigonométricas em \theta.

Passo 1

O enunciado fornece:
  • \cos(\theta) = -\dfrac{\sqrt{5}}{5}.
  • O ângulo \theta está no terceiro quadrante.
O que é pedido:
  • Determinar as outras cinco funções trigonométricas em \theta: \sin(\theta), \tan(\theta), \cot(\theta), \operatorname{sec}(\theta) e \csc(\theta).

Passo 2

Primeira ideia útil (identidade fundamental): em trigonometria vale sempre
\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1.
Aqui \sin^2(\theta) significa (\sin(\theta))^2 e \cos^2(\theta) significa (\cos(\theta))^2. Essa identidade vem da definição no círculo unitário: as coordenadas (\cos\theta,\sin\theta) satisfazem x^2+y^2=1.
Usando a informação dada, calculemos \cos^2(\theta):
\cos^2(\theta)=\left(-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\right)^2=\dfrac{5}{25}=\dfrac{1}{5}.
Agora aplicamos a identidade para obter \sin^2(\theta):
\sin^2(\theta)=1-\cos^2(\theta)=1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}.

Passo 3

Temos \sin^2(\theta)=\dfrac{4}{5}. Isso dá duas possibilidades para \sin(\theta):
\sin(\theta)=\pm\sqrt{\dfrac{4}{5}}=\pm\dfrac{2}{\sqrt{5}}.
Para escolher o sinal certo precisamos usar a informação do quadrante. No terceiro quadrante (ângulos entre \pi e 3\pi/2) tanto o seno quanto o cosseno são negativos. Portanto, \sin(\theta) é negativo. Assim
\sin(\theta)=-\dfrac{2}{\sqrt{5}}.
É comum racionalizar o denominador: multiplicando numerador e denominador por \sqrt{5} obtemos
\sin(\theta)=-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}.

Passo 4

Agora usamos as definições das funções restantes em termos de seno e cosseno.
Definição de tangente:
\tan(\theta)=\dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}.
Substituindo os valores que temos:
\tan(\theta)=\dfrac{-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}}{-\dfrac{\sqrt{5}}{5}}.
Simplificando (os fatores - se cancelam e o \dfrac{1}{5} também):
\tan(\theta)=\dfrac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=2.
Cotangente é recíproca de tangente:
\cot(\theta)=\dfrac{1}{\tan(\theta)}=\dfrac{1}{2}.

Passo 5

Definições de secante e cossecante (recíprocos de cosseno e seno, respectivamente):
\operatorname{sec}(\theta)=\dfrac{1}{\cos(\theta)},\qquad \csc(\theta)=\dfrac{1}{\sin(\theta)}.
Calculando \operatorname{sec}(\theta):
\operatorname{sec}(\theta)=\dfrac{1}{-\dfrac{\sqrt{5}}{5}}=-\dfrac{5}{\sqrt{5}}.
Simplificando -\dfrac{5}{\sqrt{5}}=-\sqrt{5}. Logo
\operatorname{sec}(\theta)=-\sqrt{5}.
Calculando \csc(\theta):
\csc(\theta)=\dfrac{1}{-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}}=-\dfrac{5}{2\sqrt{5}}.
Racionalizando (multiplicando por \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}):
\csc(\theta)=-\dfrac{5\sqrt{5}}{2\cdot5}=-\dfrac{\sqrt{5}}{2}.

Passo 6

Checagens rápidas (mentais) para confiar nos resultados:
  • Sinal de \sin e \cos no terceiro quadrante: ambos negativos — ok.
  • \tan(\theta)=\dfrac{\sin}{\cos} deve ser positivo no terceiro quadrante (negativo/negativo = positivo) — aqui \tan(\theta)=2>0 — ok.
  • Produtos \sin\cdot\csc e \cos\cdot\operatorname{sec} devem ser 1 (com sinais correspondentes) — os valores obtidos satisfazem isso.

Resposta

\sin(\theta)=-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}
\tan(\theta)=2
\cot(\theta)=\dfrac{1}{2}
\operatorname{sec}(\theta)=-\sqrt{5}
\csc(\theta)=-\dfrac{\sqrt{5}}{2}

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