Exercício 3. Sabendo que
e que
está no terceiro quadrante, determine os valores das outras cinco funções trigonométricas em
.
Passo 1
O enunciado fornece:
-
. - O ângulo
está no terceiro quadrante.
O que é pedido:
- Determinar as outras cinco funções trigonométricas em
: , , , e .
Passo 2
Primeira ideia útil (identidade fundamental): em trigonometria vale sempre
Aqui
significa
e
significa
. Essa identidade vem da definição no círculo unitário: as coordenadas
satisfazem
.
Usando a informação dada, calculemos
:
Agora aplicamos a identidade para obter
:
Passo 3
Temos
. Isso dá duas possibilidades para
:
Para escolher o sinal certo precisamos usar a informação do quadrante. No terceiro quadrante (ângulos entre
e
) tanto o seno quanto o cosseno são negativos. Portanto,
é negativo. Assim
É comum racionalizar o denominador: multiplicando numerador e denominador por
obtemos
Passo 4
Agora usamos as definições das funções restantes em termos de seno e cosseno.
Definição de tangente:
Substituindo os valores que temos:
Simplificando (os fatores
se cancelam e o
também):
Cotangente é recíproca de tangente:
Passo 5
Definições de secante e cossecante (recíprocos de cosseno e seno, respectivamente):
Calculando
:
Simplificando
. Logo
Calculando
:
Racionalizando (multiplicando por
):
Passo 6
Checagens rápidas (mentais) para confiar nos resultados:
- Sinal de
e no terceiro quadrante: ambos negativos — ok. -
deve ser positivo no terceiro quadrante (negativo/negativo = positivo) — aqui — ok. - Produtos
e devem ser (com sinais correspondentes) — os valores obtidos satisfazem isso.