Com o roteiro estudado em sala, exiba o esboço gráfico de
.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função racional
usando o roteiro padrão de análise de funções: domínio, simetria, interceptos, assíntotas, monotonia e concavidade.
Passo 2
Domínio e simetria
O denominador não pode ser zero, logo
O denominador
e o domínio é
Como
, a função é par e o gráfico é simétrico em relação ao eixo
.
Passo 3
Interceptos
– Para -intercepto,
:
– Para
Logo o ponto
.
– Para -interceptos, resolvemos
, que exige
, sem solução real. Não há interceptos com o eixo
.
– Para
Passo 4
Assíntotas
– Verticais em , pois o denominador zera aí. Estudando o sinal do denominador e numerador vemos que
– Verticais em
e comportamento análogo em
.
– Horizontal: para ,
– Horizontal: para
então há assíntota horizontal
.
Passo 5
Monotonia
Calculamos
Calculamos
O denominador é sempre positivo no domínio, logo o sinal de
é o de
:
– Para ,
: função decrescente em
e em
.
– Para ,
: função crescente em
e em
.
Em há ponto crítico; como
muda de negativo para positivo, é mínimo local em
.
– Para
– Para
Em
Passo 6
Concavidade
Derivando de novo, chega-se a
Derivando de novo, chega-se a
O numerador é sempre positivo; o sinal de
é, portanto, o de
:
– Para ,
: concava para cima em
.
– Para ,
: concava para baixo em
e
.
– Para
– Para
Passo 7
Esboço final
O gráfico apresenta três ramos, simétricos em relação ao eixo :
. Em
: decresce de
(pela direita) até
quando
, com concavidade para baixo.
. Em
: vem de
ao sair de
, decresce até o mínimo
e depois cresce até
ao se aproximar de
, com concavidade para cima.
. Em
: sai de
em
, cresce assintoticamente para
conforme
, com concavidade para baixo.
Assíntotas marcadas em ,
(verticais) e
(horizontal), e o ponto
como único ponto evidenciado na região central.
O gráfico apresenta três ramos, simétricos em relação ao eixo
Assíntotas marcadas em
Resposta
Veja o esboço acima, com assíntotas verticais em
, horizontal em
e ramo central com mínimo em
.