Com o roteiro estudado em sala, exiba o esboço gráfico de f(x)=x^2+11-x^2.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função racional
f(x)=x^2+11-x^2,
usando o roteiro padrão de análise de funções: domínio, simetria, interceptos, assíntotas, monotonia e concavidade.

Passo 2

Domínio e simetria
O denominador 1-x^2 não pode ser zero, logo
xneqpm1
e o domínio é
(-infty,-1)cup(-1,1)cup(1,infty)
Como f(-x)=(-x)^2+11-(-x)^2=x^2+11-x^2=f(x), a função é par e o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 3

Interceptos
– Para y!-intercepto, x=0:
f(0)=0^2+11-0^2=1
Logo o ponto (0,1).
– Para x!-interceptos, resolvemos x^2+11-x^2=0, que exige x^2+1=0, sem solução real. Não há interceptos com o eixo x.

Passo 4

Assíntotas
– Verticais em x=pm1, pois o denominador zera aí. Estudando o sinal do denominador e numerador vemos que
limxto1^-f(x)=+infty,limxto1^+f(x)=-infty,
e comportamento análogo em x=-1.
– Horizontal: para lvert xrverttoinfty,
f(x)simx^2-,x^2=-1,
então há assíntota horizontal y=-1.

Passo 5

Monotonia
Calculamos
f'(x) =ddxl(x^2+11-x^2r) =4x(1-x^2)^2
O denominador é sempre positivo no domínio, logo o sinal de f'(x) é o de x:
– Para x<0, f'(x)<0: função decrescente em (-infty,-1) e em (-1,0).
– Para x>0, f'(x)>0: função crescente em (0,1) e em (1,infty).
Em x=0 há ponto crítico; como f'(x) muda de negativo para positivo, é mínimo local em (0,1).

Passo 6

Concavidade
Derivando de novo, chega-se a
f''(x) =4,(1+3x^2)(1-x^2)^3
O numerador é sempre positivo; o sinal de f'' é, portanto, o de (1-x^2)^3:
– Para lvert xrvert<1, 1-x^2>0 Rightarrow f''(x)>0: concava para cima em (-1,1).
– Para lvert xrvert>1, 1-x^2<0 Rightarrow f''(x)<0: concava para baixo em (-infty,-1) e (1,infty).

Passo 7

Esboço final
O gráfico apresenta três ramos, simétricos em relação ao eixo y:
1. Em (-infty,-1): decresce de yto-1^- (pela direita) até -infty quando xto-1^-, com concavidade para baixo.
2. Em (-1,1): vem de +infty ao sair de x=-1^+, decresce até o mínimo (0,1) e depois cresce até +infty ao se aproximar de x=1^-, com concavidade para cima.
3. Em (1,infty): sai de -infty em x=1^+, cresce assintoticamente para y=-1^+ conforme xto+infty, com concavidade para baixo.
Assíntotas marcadas em x=-1, x=1 (verticais) e y=-1 (horizontal), e o ponto (0,1) como único ponto evidenciado na região central.

Resposta

Veja o esboço acima, com assíntotas verticais em x=pm1, horizontal em y=-1 e ramo central com mínimo em (0,1).

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