Exercício 1.9. Sabendo que \log 2=0,301 e \log 3=0,477 calcule \log _{9} 512. Resp: \log _{9} 512=2,839.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado: calcular \log_{9}512. As informações que temos são:
  • \log 2 = 0,301 (logaritmo na base 10).
  • \log 3 = 0,477 (logaritmo na base 10).
    Portanto queremos expressar \log_{9}512 usando os valores de \log 2 e \log 3 fornecidos.

Passo 2

Fórmula que vamos usar: mudança de base. Para quaisquer bases positivas diferentes de 1 e b>0 vale
\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a},
onde c é qualquer base comum (normalmente escolhemos c=10 quando temos logaritmos comuns). Explicando rapidinho: se \log_a b = x então a^{x}=b; aplicando \log_c em ambos os lados obtemos x\log_{c}a=\log_{c}b, daí x=\dfrac{\log_{c}b}{\log_{c}a}. Aqui usaremos c=10 porque os dados estão nessa base.

Passo 3

Reescrever os números como potências úteis:
  • 512 é potência de 2: calculando, 2^5=32, 2^6=64, 2^7=128, 2^8=256, 2^9=512. Logo 512=2^{9}.
  • 9 é potência de 3: 9=3^{2}.

Passo 4

Aplicando a mudança de base e a propriedade do logaritmo de potência ( \log(x^{k})=k\log x):
\log_{9}512=\frac{\log 512}{\log 9} =\frac{\log(2^{9})}{\log(3^{2})} =\frac{9\log 2}{2\log 3}.
Aqui cada símbolo significa:
  • \log_{9}512: logaritmo de 512 na base 9.
  • \log 512, \log 9: logaritmos na base 10 (os dados que temos).
  • \log(2^{9})=9\log 2 e \log(3^{2})=2\log 3 vêm da propriedade de potência.

Passo 5

Substituir os valores fornecidos e calcular numerador e denominador:
9\log 2 = 9\cdot 0,301 = 2,709, \qquad 2\log 3 = 2\cdot 0,477 = 0,954.
Portanto
\log_{9}512=\frac{2,709}{0,954}.

Passo 6

Fazer a divisão manualmente para obter a forma decimal. Multiplicando numerador e denominador por 1000 para evitar vírgulas:
\frac{2,709}{0,954}=\frac{2709}{954}.
Agora dividindo 2709 por 954:
  • 954\times 2=1908. Resto 2709-1908=801. Logo a parte inteira é 2.
  • Colocando vírgula, trazemos zero: 8010\div 954 8 (pois 954\times 8=7632). Resto 8010-7632=378.
  • 3780\div 954 3 (pois 954\times 3=2862). Resto 3780-2862=918.
  • 9180\div 954 9 (pois 954\times 9=8586). Resto 9180-8586=594.
    Os primeiros algarismos decimais obtidos são 2,839 (e a divisão continua, produzindo mais dígitos). Portanto, arredondando/truncando em três casas decimais, obtemos 2,839.

Passo 7

Interpretação e conclusão final: usando as propriedades de logaritmo e os valores dados chegamos ao valor decimal aproximado
\log_{9}512\approx 2,839.
Boa! É só aplicar mudança de base e a propriedade do log de potência — com prática fica automático.

Resposta

\log_{9}512=2,839

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