Exercício 1.9. Sabendo que
e
calcule
. Resp:
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado: calcular
. As informações que temos são:
-
(logaritmo na base ). -
(logaritmo na base ).
Portanto queremos expressarusando os valores de e fornecidos.
Passo 2
Fórmula que vamos usar: mudança de base. Para quaisquer bases positivas diferentes de
e
vale
onde
é qualquer base comum (normalmente escolhemos
quando temos logaritmos comuns). Explicando rapidinho: se
então
; aplicando
em ambos os lados obtemos
, daí
. Aqui usaremos
porque os dados estão nessa base.
Passo 3
Reescrever os números como potências úteis:
-
é potência de : calculando, , , , , . Logo . -
é potência de : .
Passo 4
Aplicando a mudança de base e a propriedade do logaritmo de potência (
):
Aqui cada símbolo significa:
-
: logaritmo de na base . -
, : logaritmos na base (os dados que temos). -
e vêm da propriedade de potência.
Passo 5
Substituir os valores fornecidos e calcular numerador e denominador:
Portanto
Passo 6
Fazer a divisão manualmente para obter a forma decimal. Multiplicando numerador e denominador por
para evitar vírgulas:
Agora dividindo
por
:
-
. Resto . Logo a parte inteira é . - Colocando vírgula, trazemos zero:
dá (pois ). Resto . -
dá (pois ). Resto . -
dá (pois ). Resto .
Os primeiros algarismos decimais obtidos são(e a divisão continua, produzindo mais dígitos). Portanto, arredondando/truncando em três casas decimais, obtemos .
Passo 7
Interpretação e conclusão final: usando as propriedades de logaritmo e os valores dados chegamos ao valor decimal aproximado
Boa! É só aplicar mudança de base e a propriedade do log de potência — com prática fica automático.