Exercício 3 Sabendo-se que a soma i^{10}+i^{11}+\ldots+i^{n} é nula e que n>200, determine o menor valor possível de n(n \in \mathbb{N}).

Passo 1

O enunciado nos dá a soma
i^{10}+i^{11}+\ldots+i^{n}=0
com a condição n>200 e pede: determinar o menor valor possível de n em \mathbb{N}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A soma começa em i^{10} e termina em i^{n}.
  • O resultado da soma é zero.
  • Deve ser encontrado o menor n inteiro natural maior que 200.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento das potências de i (onde i é a unidade imaginária). As potências de i repetem-se com período 4. Explicitamente:
i^0=1,\qquad i^1=i,\qquad i^2=-1,\qquad i^3=-i,\qquad i^4=1,
e a sequência se repete. Isso significa que para todo inteiro k vale i^{k+4}=i^{k}. Essa propriedade vem de que i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1, então multiplicar por i^4 não altera o valor.

Passo 3

Vamos ver em que parte do ciclo a soma começa. Calculamos o resto de 10 por 4:
10\equiv 2\pmod{4},
portanto
i^{10}=i^{2}=-1.
Assim os termos da soma, a partir de i^{10}, percorrem o ciclo na ordem
-1,\\\ -i,\\\ 1,\\ i,\\\ -1,\\\ -i,\\\ 1,\\ i,\\ \dots
ou seja, blocos de quatro termos repetidos.

Passo 4

Calcule a soma de um bloco completo de quatro termos consecutivos:
(-1)+(-i)+1+i = 0.
Portanto qualquer sequência de quatro termos consecutivos (na ordem acima) soma zero. Isso sugere que, se o número de termos da soma total for múltiplo de 4, o somatório se anula ao agrupar em blocos de quatro.

Passo 5

Defina o número de termos da soma por
L = n-10+1.
Esse L é a quantidade de potências de i somadas. Pelas observações anteriores, para que a soma seja zero é suficiente (e necessário) que L seja múltiplo de 4. Uma forma alternativa e mais formal é usar a soma geométrica: como i\neq1,
S = i^{10}+i^{11}+\cdots+i^{n} = i^{10}\frac{1-i^{L}}{1-i}.
Para S=0 é preciso que 1-i^{L}=0, isto é i^{L}=1, o que acontece exatamente quando L é múltiplo de 4.

Passo 6

Da condição L\equiv0\pmod{4} obtemos
n-10+1\equiv0\pmod{4}\quad\Longrightarrow\quad n-9\equiv0\pmod{4}.
Logo
n\equiv9\pmod{4},
ou seja, os valores possíveis de n têm a forma
n=9+4k,\quad k\in\mathbb{Z}_{\ge0}.

Passo 7

Agora imponha a condição n>200. Precisamos do menor k tal que 9+4k>200. Resolvendo:
4k>200-9=191\quad\Longrightarrow\quad k>\frac{191}{4}=47{,}75.
Como k é inteiro não-negativo, o menor k com essa propriedade é k=48. Substituindo:
n=9+4\cdot48=9+192=201.

Passo 8

Cheque rápido: com n=201 o número de termos é
L=201-10+1=192,
e 192 é múltiplo de 4 (pois 192=4\cdot48), portanto a soma se anula por ser soma de 48 blocos que somam zero. Não existe n\le201 com n>200, logo 201 é realmente o menor.

Resposta

201

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