Exercício 3 Sabendo-se que a soma
é nula e que
, determine o menor valor possível de
.
Passo 1
O enunciado nos dá a soma
com a condição
e pede: determinar o menor valor possível de
em
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A soma começa em
e termina em . - O resultado da soma é zero.
- Deve ser encontrado o menor
inteiro natural maior que .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o comportamento das potências de
(onde
é a unidade imaginária). As potências de
repetem-se com período
. Explicitamente:
e a sequência se repete. Isso significa que para todo inteiro
vale
. Essa propriedade vem de que
, então multiplicar por
não altera o valor.
Passo 3
Vamos ver em que parte do ciclo a soma começa. Calculamos o resto de
por
:
portanto
Assim os termos da soma, a partir de
, percorrem o ciclo na ordem
ou seja, blocos de quatro termos repetidos.
Passo 4
Calcule a soma de um bloco completo de quatro termos consecutivos:
Portanto qualquer sequência de quatro termos consecutivos (na ordem acima) soma zero. Isso sugere que, se o número de termos da soma total for múltiplo de
, o somatório se anula ao agrupar em blocos de quatro.
Passo 5
Defina o número de termos da soma por
Esse
é a quantidade de potências de
somadas. Pelas observações anteriores, para que a soma seja zero é suficiente (e necessário) que
seja múltiplo de
. Uma forma alternativa e mais formal é usar a soma geométrica: como
,
Para
é preciso que
, isto é
, o que acontece exatamente quando
é múltiplo de
.
Passo 6
Da condição
obtemos
Logo
ou seja, os valores possíveis de
têm a forma
Passo 7
Agora imponha a condição
. Precisamos do menor
tal que
. Resolvendo:
Como
é inteiro não-negativo, o menor
com essa propriedade é
. Substituindo:
Passo 8
Cheque rápido: com
o número de termos é
e
é múltiplo de
(pois
), portanto a soma se anula por ser soma de
blocos que somam zero. Não existe
com
, logo
é realmente o menor.