Exercício 6. Sabendo que \vec{u}+3 \vec{x}=2 \vec{v}+\vec{w} e que \vec{u}=(1,1,1) e \vec{v}=(-1,0,-2) e \vec{w}=(3,7,9), determine \vec{x}.

Passo 1

O enunciado dá a relação vetorial
\vec{u} + 3\vec{x} = 2\vec{v} + \vec{w}
com \vec{u}=(1,1,1), \vec{v}=(-1,0,-2) e \vec{w}=(3,7,9).
O conteúdo aqui é operar com combinações lineares de vetores e isolar \vec{x}.

Passo 2

Isolamos 3\vec{x} subtraindo \vec{u} dos dois lados:
3\vec{x} = 2\vec{v} + \vec{w} - \vec{u}.

Passo 3

Dividimos ambos os lados por 3 para obter \vec{x}:
\vec{x} = \frac{1}{3}\bigl(2\vec{v} + \vec{w} - \vec{u}\bigr).

Passo 4

Calculamos o vetor no numerador:
2\vec{v} = 2(-1,0,-2) = (-2,0,-4),
2\vec{v}+\vec{w} = (-2,0,-4)+(3,7,9) = (1,7,5),
2\vec{v}+\vec{w}-\vec{u} = (1,7,5)-(1,1,1) = (0,6,4).

Passo 5

Aplicando o fator \tfrac{1}{3}:
\vec{x} = \frac{1}{3}(0,6,4) = \bigl(0,2,\tfrac{4}{3}\bigr).

Resposta

\vec{x} = \bigl(0,2,\tfrac{4}{3}\bigr)

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