Exercício 8. Determine o valor de a para que o vetor \vec{v}=(a, 3 a, 2 a) seja um vetor unitário.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de a de modo que o vetor \vec{v}=(a,3a,2a) seja unitário. Isso envolve saber que um vetor é unitário quando sua norma vale 1, e que a norma de um vetor em \mathbb{R}^3 é dada por
\|\vec v\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.

Passo 2

Aplicando a fórmula de norma ao vetor \vec v=(a,3a,2a):\n
\|\vec v\| = \sqrt{a^2 + (3a)^2 + (2a)^2}.

Passo 3

No radicando temos
a^2 + (3a)^2 + (2a)^2 = a^2 + 9a^2 + 4a^2 = 14a^2,
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\|\vec v\| = \sqrt{14a^2} = \sqrt{14}\,|a|.

Passo 4

Para \vec v ser unitário, impondo \|\vec v\| = 1 resulta em
\sqrt{14}\,|a| = 1
e portanto
|a| = \frac{1}{\sqrt{14}}
que implica
a = \pm \frac{1}{\sqrt{14}}.

Resposta

a = \pm \frac{1}{\sqrt{14}}.

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