Você planeja fechar um canto do primeiro quadrante de um sistema de coordenadas cartesianas com um segmento de reta de 20 unidades de comprimento, que vai de
a
. Demonstre que a área do triângulo determinado pelo segmento é máxima quando
.
Passo 1
O exercício pede para maximizar a área de um triângulo retângulo cujos vértices são (0,0), (a,0) e (0,b), sabendo que a hipotenusa tem comprimento 20. O conteúdo é otimização com restrição, e vamos precisar da fórmula da área do triângulo e da fórmula de distância entre dois pontos.
Passo 2
A área do triângulo retângulo com catetos de comprimentos a e b é dada por
Passo 3
Como a hipotenusa vai de (a,0) a (0,b) com comprimento 20, aplicamos a fórmula da distância:
Passo 4
Isolamos b em função de a:
Substituindo em A, obtemos uma função de variável única:
Passo 5
Para achar o máximo de A(a), calculamos sua derivada e igualamos a zero. Primeiro definimos f(a)=a,√(400–a²), então A(a)=f(a)/2.
Calculamos f’(a):
Calculamos f’(a):
$$
f’(a) = \sqrt{400 - a^2} - \frac{a^2}{\sqrt{400 - a^2}} = \frac{400 - 2a^2}{\sqrt{400 - a^2}}
A’(a) = \tfrac12 f’(a) = 0 \implies 400 - 2a^2 = 0 \implies a^2 = 200 \implies a = 10\sqrt2
$$
Passo 6
Usando a restrição, b = \sqrt{400 - a^2} = \sqrt{400 - 200} = 10\sqrt2. Portanto a = b, e esse é o ponto de máximo da área.
Resposta
a = b