Exercício 3. Quais dos seguintes subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real (\mathcal{F}(\mathbb{R}),+, \cdot) ? Justifique sua resposta.
W \doteq\{f \in \mathcal{F}(\mathbb{R}) ; f(-3)=2+f(1)\}.

Passo 1

O espaço vetorial é \mathcal{F}(\mathbb{R}) (todas as funções f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}) com soma e produto por escalar definidos ponto a ponto. O subconjunto dado é
W = \{\,f\in\mathcal{F}(\mathbb{R}) \mid f(-3) = 2 + f(1)\}.
Para W ser subespaço vetorial, é necessário e suficiente que:
  1. W contenha a função zero;
  2. W seja fechado sob soma;
  3. W seja fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se a função zero \mathbf{0}, dada por \mathbf{0}(x)=0 para todo x, pertence a W.
\mathbf{0}(-3)=0 \quad\text{e}\quad 2+\mathbf{0}(1)=2+0=2,
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\mathbf{0}(-3)\;=\;0\;\neq\;2\;=\;2+\mathbf{0}(1).
Portanto \mathbf{0}\notin W.

Passo 3

Como todo subespaço deve conter a função zero, concluímos que W não é subespaço vetorial de \mathcal{F}(\mathbb{R}).

Resposta

W não é subespaço vetorial de \mathcal{F}(\mathbb{R}).

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