Exercício 5. (D. 6, ex.2.6) Seja
uma função em
. Defina
i) A transformada cosseno de Fourier
ii) A transformada seno de Fourier
Mostre que se estendermos
como um função par, temos
Mostre que se estendermos
como uma função ímpar, temos
i) A transformada cosseno de Fourier
Passo 1
A ideia é relacionar as transformadas de cosseno e seno com a transformada de Fourier usual em
,
Para isso vamos estender
como função par e como função ímpar em todo
e explorar a paridade de
e
.
Passo 2
Defina a extensão par de
por
Então
Passo 3
No primeiro integral faça
, de modo que
e quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim
Logo
Daí
, que abreviamos por
Passo 4
Defina a extensão ímpar de
por
Então
Passo 5
Usando novamente
u=-x no primeiro termo,
Portanto
Logo
Fs(f)(xi)=tfrac12i,F(fo)(xi) , ou seja
Resposta
Para a extensão par de
f :
Para a extensão ímpar de
f :