Exercício 5. (D. 6, ex.2.6) Seja f:[0, infty[ C uma função em L^1(R). Defina
i) A transformada cosseno de Fourier
Fc(f)(xi)=integral0^infty cos (x xi) f(x) d x
ii) A transformada seno de Fourier
Fs(f)(xi)=integral0^infty sen(x xi) f(x) d x
Mostre que se estendermos f como um função par, temos
Fc(f)=12 F(f)
Mostre que se estendermos f como uma função ímpar, temos
Fs(f)=12 i F(f)

Passo 1

A ideia é relacionar as transformadas de cosseno e seno com a transformada de Fourier usual em R,
F(g)(xi)=integral-infty^inftye^-i x xi,g(x),dx
Para isso vamos estender f como função par e como função ímpar em todo R e explorar a paridade de cos e sin.

Passo 2

Defina a extensão par de f por
fe(x)= f(x),&x>=0, f(-x),&x<0
Então
F(fe)(xi)=integral-infty^0e^-i x xif(-x),dx +integral0^inftye^-i x xif(x),dx

Passo 3

No primeiro integral faça u=-x, de modo que dx=-du e quando x vai de -infty a 0, u vai de infty a 0. Assim
integral-infty^0e^-i x xif(-x),dx =integralinfty^0e^i u xif(u)(-du) =integral0^inftye^i u xif(u),du
Logo
F(fe)(xi) =integral0^inftyl(e^i x xi+e^-i x xir)f(x),dx =2integral0^inftycos(xxi),f(x),dx =2,Fc(f)(xi)
Daí Fc(f)(xi)=tfrac12,F(fe)(xi), que abreviamos por
Fc(f)=12,F(f)

Passo 4

Defina a extensão ímpar de f por
fo(x)= f(x),&x>=0, -,f(-x),&x<0
Então
F(fo)(xi)=integral-infty^0e^-i x xil(-f(-x)r),dx +integral0^inftye^-i x xif(x),dx

Passo 5

Usando novamente u=-x no primeiro termo,
integral-infty^0e^-i x xil(-f(-x)r),dx =-integralinfty^0e^i u xif(u),du =-integral0^inftye^i x xif(x),dx
Portanto
F(fo)(xi) =integral0^inftyl(e^-i x xi-e^i x xir)f(x),dx =-2iintegral0^inftysin(xxi),f(x),dx =-2i,Fs(f)(xi)
Logo Fs(f)(xi)=tfrac12i,F(fo)(xi), ou seja
Fs(f)=12i,F(f)

Resposta

Para a extensão par de f:
Fc(f)=tfrac12,F(f)
Para a extensão ímpar de f:
Fs(f)=12i,F(f)

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