Se
é uma função par, mostre que a função
é uma função par e
sen
é uma função ímpar. Nesse caso, valem as fórmulas:
Deduza resultados análogos admitindo que
é uma função ímpar.
Passo 1
O enunciado considera uma função par
, ou seja, satisfazendo
Pede para mostrar que
- a função
é par e, por consequência,
- a função
é ímpar e, por consequência,
Depois, pede ainda deduzir resultados análogos quando
for ímpar, usando as mesmas propriedades de paridade e de integrais em intervalos simétricos.
Passo 2
Recordamos que
Como
é par,
. Então, para o produto:
logo
é par. Analogamente,
logo
é ímpar.
Passo 3
Usando as propriedades de integração em intervalos simétricos:
- Se
é par, então
- Se
é ímpar, então
Aplicando a
(par) e a
(ímpar), obtemos imediatamente
Passo 4
Agora suponha
ímpar, ou seja
. Repetindo o mesmo raciocínio:
logo
é ímpar, e
logo
é par. Assim, em
,
Resposta
Para
par:
Para
ímpar: