Se f:[-r, r] R é uma função par, mostre que a função f(x) cos n x é uma função par e f(x) sen n x é uma função ímpar. Nesse caso, valem as fórmulas:
integral-r^r f(x) cos n x d x=2 integral0^r f(x) cos n x d x e integral-r^r f(x) sen n x d x=0
Deduza resultados análogos admitindo que f é uma função ímpar.

Passo 1

O enunciado considera uma função par f:[-r,r]toR, ou seja, satisfazendo
f(-x)=f(x)forall xin[-r,r]
Pede para mostrar que
  1. a função f(x)cos(nx) é par e, por consequência,
integral-r^rf(x)cos(nx),dx=2integral0^rf(x)cos(nx),dx;
  1. a função f(x)sin(nx) é ímpar e, por consequência,
integral-r^rf(x)sin(nx),dx=0
Depois, pede ainda deduzir resultados análogos quando f for ímpar, usando as mesmas propriedades de paridade e de integrais em intervalos simétricos.

Passo 2

Recordamos que
cos(-nx)=cos(nx)((cos) é par), sin(-nx)=-sin(nx)((sin) é ímpar) ééí
Como f é par, f(-x)=f(x). Então, para o produto:
[f(x)cos(nx)]xmapsto -x = f(-x),cosl(n(-x)r) = f(x),cos(nx),
logo f(x)cos(nx) é par. Analogamente,
[f(x)sin(nx)]xmapsto -x = f(-x),sinl(n(-x)r) = f(x),l(-sin(nx)r) = -,f(x)sin(nx),
logo f(x)sin(nx) é ímpar.

Passo 3

Usando as propriedades de integração em intervalos simétricos:
  • Se g é par, então
integral-r^rg(x),dx =2integral0^rg(x),dx
  • Se h é ímpar, então
integral-r^rh(x),dx =0
Aplicando a g(x)=f(x)cos(nx) (par) e a h(x)=f(x)sin(nx) (ímpar), obtemos imediatamente
integral-r^rf(x)cos(nx),dx =2integral0^rf(x)cos(nx),dx, integral-r^rf(x)sin(nx),dx =0

Passo 4

Agora suponha f ímpar, ou seja f(-x)=-f(x). Repetindo o mesmo raciocínio:
[f(x)cos(nx)]xmapsto -x = f(-x)cos(-nx) = (-f(x))cos(nx) = -,f(x)cos(nx),
logo f(x)cos(nx) é ímpar, e
[f(x)sin(nx)]xmapsto -x = f(-x)sin(-nx) = (-f(x))l(-sin(nx)r) = f(x)sin(nx),
logo f(x)sin(nx) é par. Assim, em [-r,r],
integral-r^rf(x)cos(nx),dx =0, integral-r^rf(x)sin(nx),dx =2integral0^rf(x)sin(nx),dx

Resposta

Para f par:
integral-r^rf(x)cos(nx),dx =2integral0^rf(x)cos(nx),dx, integral-r^rf(x)sin(nx),dx =0
Para f ímpar:
integral-r^rf(x)cos(nx),dx =0, integral-r^rf(x)sin(nx),dx =2integral0^rf(x)sin(nx),dx

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