Exercício 2
Seja A=(ca a vdots a)(llllb & b & ldots & b) in Mn(F). Quanto é det(A) ?

Passo 1

O enunciado define a matriz
A ;=; a a vdots a b & b & cdots & b in Mn(F)
e pede det(A). O conteúdo envolvido é a propriedade de determinante em relação à dependência linear (ou posto) das linhas (ou colunas).

Passo 2

Observamos o elemento genérico de A: se chamarmos sua entrada na linha i e coluna j de Aij, então
Aij = a cdot b
para todo i,j=1,dots,n.

Passo 3

Como Aij=ab independe de i, todas as linhas de A são idênticas (cada linha é (ab,ab,dots,ab)). Quando duas ou mais linhas de uma matriz são iguais, elas são linearmente dependentes, e isso faz com que o determinante seja zero.

Resposta

det(A)=0

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