Sejam
e
transformações lineares definidas por
(a) Calcule
, com
.
(b) Obtenha uma expressão para a transformação
(c) Calcule
, com
(d) Obtenha uma expressão para a transformação
(b) Obtenha uma expressão para a transformação
(c) Calcule
(d) Obtenha uma expressão para a transformação
Passo 1
O enunciado define duas transformações lineares
e
em
e pede para calcular combinações lineares delas aplicadas ao polinômio
, além de obter expressões gerais para as transformações
e
. Usaremos que
e
.
Passo 2
Para calcular
escrevemos
e aplicamos a definição de
:
Simplificando,
Passo 3
Para calcular
usamos a definição de
:
Simplificando,
Passo 4
Agora somamos os resultados de
e
para obter
:
Logo,
Passo 5
Para achar a expressão geral de
em um polinômio genérico
, somamos as fórmulas de
e
:
Simplificando cada coeficiente, obtemos
Passo 6
Para calcular
, multiplicamos
por
:
Passo 7
Para calcular
, multiplicamos
por
:
Então
e portanto
Passo 8
Para obter a expressão geral de
em
, fazemos
e subtraímos, simplificando coeficientes. O resultado é
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)