Sejam S: P2(R) P2(R) e T: P2(R) P2(R) transformações lineares definidas por
& S(a+b t+c t^2)=(a+b)+(a-b+c) t+(b-c) t^2 & T(a+b t+c t^2)=(a-c)+(b+c) t+(b+c) t^2
(a) Calcule (S+T)(v), com v=2-t+3 t^2.
(b) Obtenha uma expressão para a transformação S+T
(c) Calcule (3 S-5 T)(v), com v=2-t+3 t^2
(d) Obtenha uma expressão para a transformação 3 S-5 T

Passo 1

O enunciado define duas transformações lineares S e T em P2(R) e pede para calcular combinações lineares delas aplicadas ao polinômio v=2 - t + 3t^2, além de obter expressões gerais para as transformações S+T e 3S-5T. Usaremos que (S+T)(p)=S(p)+T(p) e (3S-5T)(p)=3S(p)-5T(p).

Passo 2

Para calcular S(v) escrevemos v=2 +(-1)t +3t^2 e aplicamos a definição de S:
S(v) = S(2 - t + 3t^2) = (2 + (-1)) + l(2 - (-1) + 3r)t + l((-1) - 3r)t^2
Simplificando,
S(v) = 1 +6t -4t^2

Passo 3

Para calcular T(v) usamos a definição de T:
T(v) = T(2 - t + 3t^2) = (2 - 3) + l((-1) + 3r)t + l((-1) + 3r)t^2
Simplificando,
T(v) = -1 + 2t + 2t^2

Passo 4

Agora somamos os resultados de S(v) e T(v) para obter (S+T)(v):
(S+T)(v) = l(1 +6t -4t^2r) + l(-1 +2t +2t^2r) = (1-1) + (6+2)t + (-4+2)t^2
Logo,
(S+T)(v) = 8t - 2t^2

Passo 5

Para achar a expressão geral de S+T em um polinômio genérico p(t)=a+bt+ct^2, somamos as fórmulas de S e T:
(S+T)(a+bt+ct^2) = l[(a+b)+(a-c)r] + l[(a-b+c)+(b+c)r]t + l[(b-c)+(b+c)r]t^2
Simplificando cada coeficiente, obtemos
(S+T)(a+bt+ct^2) = (2a + b - c) + (a + c)t + 2b,t^2

Passo 6

Para calcular 3S(v), multiplicamos S(v)=1+6t-4t^2 por 3:
3S(v) = 3 +18t -12t^2

Passo 7

Para calcular 5T(v), multiplicamos T(v)=-1+2t+2t^2 por 5:
5T(v) = -5 +10t +10t^2
Então
(3S-5T)(v) = (3+18t-12t^2) - (-5+10t+10t^2) = (3+5) + (18-10)t + (-12-10)t^2
e portanto
(3S-5T)(v) = 8 + 8t -22t^2

Passo 8

Para obter a expressão geral de 3S-5T em p(t)=a+bt+ct^2, fazemos
3S(a+bt+ct^2) = 3l[(a+b)+(a-b+c)t+(b-c)t^2r],
5T(a+bt+ct^2) = 5l[(a-c)+(b+c)t+(b+c)t^2r],
e subtraímos, simplificando coeficientes. O resultado é
(3S-5T)(a+bt+ct^2) = (-2a+3b+5c) + (3a-8b-2c)t + (-2b-8c)t^2

Resposta

(a) (S+T)(2 - t + 3t^2) = 8t - 2t^2
(b) (S+T)(a+bt+ct^2) = (2a + b - c) + (a + c)t + 2b,t^2
(c) (3S-5T)(2 - t + 3t^2) = 8 + 8t - 22t^2
(d) (3S-5T)(a+bt+ct^2) = (-2a+3b+5c) + (3a-8b-2c)t + (-2b-8c)t^2

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