Sejam F: R^3 R^2, G: R^3 R^2 e H: R^2 R^2 transformações lineares dadas por
F(x, y, z) & =(y, x+z) G(x, y, z) & =(2 z, x-y) H(x, y) & =(y, 2 x)
Considere os vetores v=(4,-1,5) e w=(3,4,1).
(a) Calcule (F+G)(v) e (F+G)(w)
(b) Obtenha uma expressão para F+G.
(c) Calcule (H circ F)(v) e (H circ F)(w).
(d) Obtenha uma expressão para H circ F.
(e) Calcule (H circ G)(v) e (H circ G)(w).
(f) Obtenha uma expressão para H circ G.
(g) Obtenha uma expressão para H circ(F+G).
(h) Obtenha uma expressão para H circ F+H circ G. Compare com o item anterior.
(i) Obtenha uma expressão para H^2=H circ H.

Passo 1

O enunciado trata de transformações lineares
;F,G:R^3toR^2 e ;H:R^2toR^2,
dados por
F(x,y,z)=(y,;x+z), G(x,y,z)=(2z,;x-y), H(u,v)=(v,;2u)
Tarefa: usar definição de soma de transformações e composição para calcular valores em boldsymbol v=(4,-1,5), boldsymbol w=(3,4,1) e obter fórmulas gerais.

Passo 2

Calculamos primeiro (F+G)(boldsymbol v)=F(boldsymbol v)+G(boldsymbol v).
Temos
F(4,-1,5)=(-1,;4+5)=(-1,9), G(4,-1,5)=(2cdot5,;4-(-1))=(10,5)
Somando coordenada a coordenada,
(F+G)(4,-1,5) = (-1+10,;9+5) = (9,14)

Passo 3

De modo análogo para boldsymbol w=(3,4,1):
F(3,4,1)=(4,;3+1)=(4,4), G(3,4,1)=(2cdot1,;3-4)=(2,-1),
(F+G)(3,4,1) = (4+2,;4+(-1)) = (6,3)

Passo 4

Para obter a expressão geral de F+G, somamos
F(x,y,z)=(y,;x+z), G(x,y,z)=(2z,;x-y),
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(F+G)(x,y,z) = (,y+2z,; (x+z)+(x-y),) = (y+2z,;2x+z-y)

Passo 5

Agora (Hcirc F)(boldsymbol v)=Hl(F(boldsymbol v)r).
Já temos F(4,-1,5)=(-1,9), então
H(-1,9) = (9,;2cdot(-1)) = (9,-2)
Para boldsymbol w, F(3,4,1)=(4,4) e
H(4,4) = (4,;2cdot4) = (4,8)

Passo 6

A expressão geral de Hcirc F vem de
F(x,y,z)=(y,;x+z), H(u,v)=(v,2u),
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(Hcirc F)(x,y,z) = Hl(y,;x+zr) = l(x+z,;2yr)

Passo 7

Para (Hcirc G)(boldsymbol v), usamos G(4,-1,5)=(10,5):
H(10,5) = (5,;2cdot10) = (5,20)
E em boldsymbol w, G(3,4,1)=(2,-1) e
H(2,-1) = (-1,;2cdot2) = (-1,4)

Passo 8

A expressão de Hcirc G é
G(x,y,z)=(2z,;x-y), H(u,v)=(v,2u),
portanto
(Hcirc G)(x,y,z) = Hl(2z,;x-yr) = l(x-y,;4zr)

Passo 9

Para Hcirc(F+G), primeiro (F+G)(x,y,z)=(y+2z,;2x+z-y), depois
Hl(y+2z,;2x+z-yr) = l(2x+z-y,;2(y+2z)r) = (2x+z-y,;2y+4z)

Passo 10

Somando Hcirc F e Hcirc G,
(Hcirc F)(x,y,z) + (Hcirc G)(x,y,z) = (x+z,;2y) + (x-y,;4z) = (2x-y+z,;2y+4z),
que coincide com Hcirc(F+G)(x,y,z). Isso mostra a distributividade Hcirc(F+G)=Hcirc F+Hcirc G.

Passo 11

Finalmente, H^2 = Hcirc H. Para (x,y)in R^2,
H(x,y)=(y,2x), Hl(y,2xr) = (2x,;2y),
isto é,
H^2(x,y) = (2x,2y) = 2,(x,y)

Resposta

(a) (F+G)(boldsymbol v) = (9,14), (F+G)(boldsymbol w) = (6,3).
(b) (F+G)(x,y,z) = (y+2z,;2x+z-y).
(c) (Hcirc F)(boldsymbol v) = (9,-2), (Hcirc F)(boldsymbol w) = (4,8).
(d) (Hcirc F)(x,y,z) = (x+z,;2y).
(e) (Hcirc G)(boldsymbol v) = (5,20), (Hcirc G)(boldsymbol w) = (-1,4).
(f) (Hcirc G)(x,y,z) = (x-y,;4z).
(g) (Hcirc(F+G))(x,y,z) = (2x+z-y,;2y+4z).
(h) (Hcirc F+Hcirc G)(x,y,z) = (2x-y+z,;2y+4z), que é igual a (g).
(i) H^2(x,y) = (2x,2y).

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