Sendo \|\vec{u}\|=2,\|\vec{v}\|=4 e 150^{\circ} o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}, temos que \|\vec{u} \times \vec{v}\| é igual a:

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Dado que \|\vec{u}\|=2.
  • Dado que \|\vec{v}\|=4.
  • O ângulo entre \vec{u} e \vec{v} é 150^\circ.
  • Pergunta: calcular \|\vec{u}\times\vec{v}\|.

Passo 2

Apresento a fórmula que vamos usar (essa é a ferramenta principal da prova):
\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre os vetores \vec{u} e \vec{v}.
Explicação rápida e didática: o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} tem magnitude igual à área do paralelogramo formado por \vec{u} e \vec{v}. A área do paralelogramo é base vezes altura; tomando \|\vec{u}\| como base, a altura é \|\vec{v}\|\sin\theta, daí surge a fórmula acima.

Passo 3

Vou explicar o que significa \sin\theta aqui de forma bem prática: \sin\theta é a razão entre a componente perpendicular de um vetor em relação ao outro e o comprimento desse vetor. Geometricamente, quando \theta está entre 0^\circ e 180^\circ, \sin\theta\ge 0, então a magnitude do produto vetorial fica não-negativa, como deve ser.

Passo 4

Calculemos \sin 150^\circ. Usamos a identidade de ângulos suplementares:
\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha.
Tomando \alpha=30^\circ obtemos \sin 150^\circ=\sin 30^\circ. E sabemos que
\sin 30^\circ=\tfrac{1}{2}.
Portanto \sin 150^\circ=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Agora substituímos os valores na fórmula do Passo 2:
\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\sin 150^\circ.
Substituindo \|\vec{u}\|=2, \|\vec{v}\|=4 e \sin 150^\circ=\tfrac{1}{2}, obtemos
\|\vec{u}\times\vec{v}\|=2\cdot 4\cdot \tfrac{1}{2}.

Passo 6

Efetuando a multiplicação do Passo 5:
2\cdot 4\cdot \tfrac{1}{2}=4.
Checagem rápida: o resultado é não-negativo e faz sentido geometricamente (área do paralelogramo).

Resposta

4

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