Exercício 2. (D.K. ex. 5.2) Seja f in L^1(R^n). Definamos fepsilon(x)=1epsilon^n f(xepsilon). Prove que
lim epsilon 0^+ fepsilon=c de<a em D^prime(R), em que c=integralR^n f(x) d x in C
(Dica: Uma maneira simples de se provar isto é fazendo a mudança de variável y=xepsilon ao calcular fepsilon(phi).)

Passo 1

O enunciado trata da família de funções
fepsilon(x)=1epsilon^n,f!l(tfracxepsilonr),
onde fin L^1(R^n), e pede para mostrar que, como distribuições,
fepsilon;xrightarrow[epsilonto0^+];c,de<a,
em D'(R^n), sendo
c=integralR^nf(x),dxinC
O conteúdo principal é a definição de convergência em D' (pares distribuição–teste) e o uso do Teorema da Convergência Dominada via a mudança de variável y=x/epsilon.

Passo 2

Seja phiin Cc^infty(R^n). Por definição de distribuição associada a fepsilon, temos
llang<= fepsilon,phirrang<= =integralR^nfepsilon(x),phi(x),dx =integralR^n1epsilon^n ,f!l(tfracxepsilonr),phi(x),dx
Fazendo a mudança de variável
y=xepsilon, x=epsilon y, dx=epsilon^ndy,
obtém-se
llang<= fepsilon,phirrang<= =integralR^nf(y),phi(epsilon,y),dy

Passo 3

Note que phi é contínua e compactamente suportada, logo é limitada e
phi(epsilon y);xrightarrow[epsilonto0];phi(0) para todo yinR^n
Além disso
l|f(y),phi(epsilon y)r| <=l|f(y)r|;supx|phi(x)|,
e como fin L^1(R^n) e phi é limitada, podemos aplicar o Teorema da Convergência Dominada para passar ao limite dentro da integral:
limepsilonto0 integralR^nf(y),phi(epsilon y),dy =integralR^nf(y), limepsilonto0phi(epsilon y),dy =phi(0)integralR^nf(y),dy

Passo 4

Definindo
c=integralR^nf(y),dy,
concluímos que para toda phiin Cc^infty(R^n)
limepsilonto0llang<= fepsilon,phirrang<= =phi(0),c =llang<= c,de<a,phirrang<=
Isto demonstra exatamente que fepsilonto c,de<a em D'(R^n).

Resposta

limepsilonto0^+fepsilon=c,de<a em D'(R^n), c=integralR^nf(x),dx

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