Para cada epsilon>0 fazemos a integração ao longo do eixo real com um pequeno desvio semicircular no polo x=0 pelo semicírculo superior, fechando depois num semicírculo de raio grande em cima. Como varphi tem suporte compacto, o arco de raio grande não contribui quando o raio tende a infty. No desvio pequeno em torno de 0 obtemos o resíduo -ipivarphi(0). Assim
Para limepsilonto0^+1x-iepsilon
o argumento é análogo, mas desviamos o polo x=0 pelo semicírculo inferior (onde a orientação dá resíduo +ipi). Repetindo o mesmo raciocínio obtemos
limepsilonto0^+ 1x-iepsilon =PVl(tfrac1xr) ;+;ipi,de<a0 em D'(R)