Exercício 3. (D.K. ex. 5.3) Mostre que:
  1. 1x+i 0=lim epsilon 0^+ 1x+i epsilon=P V(1x)-i pi de<a0 e que 1x-i 0=lim epsilon 0^+ 1x-i epsilon=P V(1x)+i pi de<a0. (Dica: O primeiro limite foi provado em sala de aula. O segundo segue do mesmo argumento, só mudando a região da integração complexa).
  2. Usando o resultado anterior, mostre que
lim epsilon 0^+ xx^2+epsilon^2=P V(1x) e lim epsilon 0^+ epsilonx^2+epsilon^2=pi de<a0 em D^prime(R)

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos duas coisas em D'(R):
  1. As identidades
1x+i0 ;=;limepsilonto0^+1x+iepsilon ;=;PVl(tfrac1xr);-;ipi,de<a0, 1x-i0 ;=;limepsilonto0^+1x-iepsilon ;=;PVl(tfrac1xr);+;ipi,de<a0
  1. A seguir, usando essas identidades e escrevendo
1x-iepsilon =x+iepsilonx^2+epsilon^2 =underbracexx^2+epsilon^2parte real ;+;i,underbraceepsilonx^2+epsilon^2parte imaginária, á
mostrar que
limepsilonto0^+xx^2+epsilon^2 =PVl(tfrac1xr), limepsilonto0^+epsilonx^2+epsilon^2 =pi,de<a0
Para isso vamos usar a definição de limite em distribuições e o Teorema dos Resíduos.

Passo 2

Relembremos a prova de
limepsilonto0^+1x+iepsilon =PVl(tfrac1xr)-ipide<a0.
Tomemos varphiinD(R). Definimos
llang<= Tepsilon,varphirrang<= =integral-infty^inftyvarphi(x)x+iepsilon,dx
Para cada epsilon>0 fazemos a integração ao longo do eixo real com um pequeno desvio semicircular no polo x=0 pelo semicírculo superior, fechando depois num semicírculo de raio grande em cima. Como varphi tem suporte compacto, o arco de raio grande não contribui quando o raio tende a infty. No desvio pequeno em torno de 0 obtemos o resíduo -ipivarphi(0). Assim
limepsilonto0^+ llang<= Tepsilon,varphirrang<= =pv!integralvarphi(x)x,dx ;-;ipi,varphi(0) =llang<= PV(tfrac1x),varphirrang<= ;-;ipi,lang<=de<a0,varphirang<=

Passo 3

Para
limepsilonto0^+1x-iepsilon
o argumento é análogo, mas desviamos o polo x=0 pelo semicírculo inferior (onde a orientação dá resíduo +ipi). Repetindo o mesmo raciocínio obtemos
limepsilonto0^+ 1x-iepsilon =PVl(tfrac1xr) ;+;ipi,de<a0 em D'(R)

Passo 4

Escrevendo
1x-iepsilon =xx^2+epsilon^2 ;+;i,epsilonx^2+epsilon^2,
vemos que, como distribuição,
Re!l(tfrac1x-iepsilonr) =xx^2+epsilon^2, Im!l(tfrac1x-iepsilonr) =epsilonx^2+epsilon^2
Pelo passo anterior,
limepsilonto0^+1x-iepsilon =PV(tfrac1x)+ipide<a0.
Dessa forma, tomando parte real e parte imaginária dos dois lados, concluímos:
limepsilonto0^+xx^2+epsilon^2 =PVl(tfrac1xr), limepsilonto0^+epsilonx^2+epsilon^2 =pi,de<a0

Resposta

1x+i0=PVl(tfrac1xr)-ipide<a0, 1x-i0=PVl(tfrac1xr)+ipide<a0
limepsilonto0^+xx^2+epsilon^2 =PVl(tfrac1xr), limepsilonto0^+epsilonx^2+epsilon^2 =pi,de<a0

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