Exercício 1. (D.K. ex. 5.1) Seja uma sequência de funções não negativas em ( ) (ou seja, tais que ). Suponha que as funções satisfaçam as seguintes propriedades:
a) Para todo , temos .
b) Para todo , temos que .
Prove que em .
Passo 1
O enunciado considera uma sequência de funções não-negativas em com massa total unitária
e tal que, para todo ,
Queremos mostrar que, vista cada como distribuição, temos
isto é, para toda ,
Passo 2
Seja . Como tem suporte compacto e é contínua, ela é uniformemente contínua e limitada. Logo, existe tal que
Pela hipótese de “tightness”, para j suficientemente grande temos integral|x|>=de<afj < varepsilon/M,
logo esse termo também fica abaixo de varepsilon.