Exercício 1. (D.K. ex. 5.1) Seja (fj)j in N uma sequência de funções não negativas em L^1 ( R^n ) (ou seja, tais que integralR^n|fj(x)| d x<infty ). Suponha que as funções satisfaçam as seguintes propriedades:
a) Para todo j in N, temos integralR^n fj(x) d x=1.
b) Para todo r>0, temos que lim j infty integral|x| >= r ff(x) d x=0.
Prove que lim j infty fj=de<a0 em D^prime(R^n).

Passo 1

O enunciado considera uma sequência fj de funções não-negativas em L^1(R^n) com massa total unitária
integralR^nfj(x),dx=1
e tal que, para todo r>0,
limjtoinftyintegral|x|>= rfj(x),dx=0
Queremos mostrar que, vista cada fj como distribuição, temos
fjtode<a0 em D'(R^n),
isto é, para toda varphiin Cc^infty(R^n),
integralR^nfj(x),varphi(x),dxtovarphi(0)

Passo 2

Seja varphiin Cc^infty(R^n). Como varphi tem suporte compacto e é contínua, ela é uniformemente contínua e limitada. Logo, existe de<a>0 tal que
|x|<de<a ;Longrightarrow; l|varphi(x)-varphi(0)r|<varepsilon
Defina ainda
M=supxinR^n|varphi(x)|<infty

Passo 3

Para cada j, decompomos
integralR^nfj(x),varphi(x),dx =underbracevarphi(0)integralR^nfj=varphi(0) +integral|x|<de<afj(x)l[varphi(x)-varphi(0)r]dx +integral|x|>=de<afj(x),varphi(x),dx

Passo 4

Estimamos os dois termos de erro:
1. Para |x|<de<a:
l|integral|x|<de<afj(x)l[varphi(x)-varphi(0)r]dxr| <=integral|x|<de<afj(x),varepsilon,dx =varepsilonintegralR^nfj(x),dx =varepsilon
2. Para |x|>=de<a:
l|integral|x|>=de<afj(x),varphi(x),dxr| <= Mintegral|x|>=de<afj(x),dx
Pela hipótese de “tightness”, para j suficientemente grande temos
integral|x|>=de<afj < varepsilon/M,
logo esse termo também fica abaixo de varepsilon.

Passo 5

Juntando tudo, para j grande,
l|integral fj,varphi-varphi(0)r| <=varepsilon+varepsilon =2varepsilon
Como varepsilon>0 era arbitrário, conclui-se
integralR^nfj(x),varphi(x),dxlongrightarrowvarphi(0)
Isto mostra exatamente que fjtode<a0 em D'(R^n).

Resposta

fjtode<a0 em D'(R^n).

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