Exercício 5. (D.K. ex. 5.4) Seja ejj=1, ldots, n a base canônica de R^n(e1=(1,0,0, ldots), e2=(0,1,0, ldots), ldots) e seja a in R^n. Mostre que:
lim t 0 1t(de<aa-t ej-de<aa)=partialxj de<aa em D^prime(R^n)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, no espaço de distribuições D'(R^n), a diferença
1tl(de<aa - t ej - de<aar)
converge, quando tto0, à derivada partialxjde<aa.
Conteúdo: definição de convergência em D' e definição de derivada de uma distribuição.

Passo 2

Lembrando que a convergência Ttto T em D' significa que, para toda função de teste varphiinD(R^n), vale
Tt(varphi);longrightarrow;T(varphi)
Além disso, a derivada de uma distribuição T é dada por
partialxjT(varphi) ;=;-,Tl(partialxjvarphir)

Passo 3

Aplique a distribuição 1t(de<aa - t ej-de<aa) a uma função de teste varphi. Como de<ax(varphi)=varphi(x), temos
1tl(de<aa - t ej-de<aar)(varphi) =1tl(varphi(a - t ej)-varphi(a)r)

Passo 4

Use o desenvolvimento de Taylor de primeira ordem em torno de a:
varphi(a - t ej) =varphi(a) ;-;t,partialxjvarphi(a);+;o(t)
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varphi(a - t ej)-varphi(a)t =-,partialxjvarphi(a);+;o(t)t ;xrightarrow[tto0];-,partialxjvarphi(a)

Passo 5

Por definição de derivada de distribuição,
partialxjde<aa(varphi) =-,de<aal(partialxjvarphir) =-,partialxjvarphi(a)
Comparando com o limite obtido em cada varphi, concluímos
limtto01tl(de<aa - t ej-de<aar)(varphi) =partialxjde<aa(varphi),
ou seja, a convergência em D'(R^n) é comprovada.

Resposta

limt 0 1tl(de<aa - t ej-de<aar) =partialxjde<aa em D'(R^n)

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