Exercício 5. (D.K. ex. 5.4) Seja
a base canônica de
e seja
. Mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, no espaço de distribuições
, a diferença
converge, quando
, à derivada
.
Conteúdo: definição de convergência em e definição de derivada de uma distribuição.
Conteúdo: definição de convergência em
Passo 2
Lembrando que a convergência
em
significa que, para toda função de teste
, vale
Além disso, a derivada de uma distribuição
é dada por
Passo 3
Aplique a distribuição
a uma função de teste
. Como
, temos
Passo 4
Use o desenvolvimento de Taylor de primeira ordem em torno de
:
Logo
Passo 5
Por definição de derivada de distribuição,
Comparando com o limite obtido em cada
varphi , concluímos
ou seja, a convergência em
D'(R^n) é comprovada.