Exercício 18. (D.K. ex. 12.12) Seja E a solução fundamental de De<a em R^n. Sejam gj, para j de 1 a n, distribuições de suporte compacto em R^n com a propriedade de que partialj gk=partialk gj para todo j e k. Prove que a distribuição
f=sumj=1^n partialj E * gj
satisfaz o sistema de equações diferenciais
partialj f=gj, forall j

Passo 1

O enunciado trata de convoluções de distribuições em R^n. Temos
  • E é uma solução fundamental da Laplaciana, ou seja, De<a E = de<a, onde de<a é a delta de Dirac.
  • As distribuições gj ( 1<= j<= n) têm suporte compacto e satisfazem partialj gk = partialk gj forall,j,k
Definimos então
f = sumj=1^n partialj E * gj
e queremos mostrar que
partialj f = gj, j=1,dots,n
Para isso precisaremos usar:
  1. A propriedade de derivação da convolução
    partial(,T*S)=partial T* S=T*partial S sempre que um dos fatores tenha suporte compacto.
  2. A comutatividade das derivadas parciais de E.
  3. O fato de que De<a E=de<a implica (De<a E)*gj=de<a*gj=gj.

Passo 2

Aplicamos partialj à definição de f. Usando que podemos trocar derivação e convolução, obtemos
partialj f = partialjl(sumk=1^n partialk E * gkr) = sumk=1^n partialjl(partialk E * gkr) = sumk=1^n partialjpartialk E * gk
Como E é suficientemente suave fora da origem, as derivadas parciais comutam, logo
partialjpartialk E = partialkpartialj E

Passo 3

Reescrevemos cada termo partialjpartialk E * gk movendo uma das derivadas para gk. Como gk tem suporte compacto, vale
partialkl(partialj E * gkr) = partialkpartialj E * gk = partialj E * partialk gk
Portanto
partialj f = sumk=1^n partialjpartialk E * gk = sumk=1^n partialj E * partialk gk

Passo 4

Usamos a hipótese partialk gj = partialj gk. Trocando índices, em cada soma:
partialj E * partialk gk = partialj E * partialj gk (substituindo (krightarrow j) dentro da igualdade das derivadas)
Assim
partialj f = sumk=1^n partialj E * partialk gk = sumk=1^n partialk E * partialk gj

Passo 5

No passo anterior trocamos o papel de j e k. Agora agrupamos:
sumk=1^n partialk E * partialk gj = l(sumk=1^n partialk^2 Er)*gj = (De<a E)*gj
Mas por hipótese De<a E=de<a, logo
(De<a E)*gj = de<a * gj = gj

Resposta

Portanto mostramos que
partialj f = gj forall,j=1,dots,n,
como desejado.

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