Exercício 18. (D.K. ex. 12.12) Seja
a solução fundamental de
em
. Sejam
, para
de 1 a
, distribuições de suporte compacto em
com a propriedade de que
para todo
e
. Prove que a distribuição
satisfaz o sistema de equações diferenciais
Passo 1
O enunciado trata de convoluções de distribuições em
. Temos
-
é uma solução fundamental da Laplaciana, ou seja, onde é a delta de Dirac. - As distribuições
( ) têm suporte compacto e satisfazem
Definimos então
e queremos mostrar que
Para isso precisaremos usar:
- A propriedade de derivação da convolução
sempre que um dos fatores tenha suporte compacto. - A comutatividade das derivadas parciais de
. - O fato de que
implica .
Passo 2
Aplicamos
à definição de
. Usando que podemos trocar derivação e convolução, obtemos
Como
é suficientemente suave fora da origem, as derivadas parciais comutam, logo
Passo 3
Reescrevemos cada termo
movendo uma das derivadas para
. Como
tem suporte compacto, vale
Portanto
Passo 4
Usamos a hipótese
. Trocando índices, em cada soma:
Assim
Passo 5
No passo anterior trocamos o papel de
e
. Agora agrupamos:
Mas por hipótese
, logo
Resposta
Portanto mostramos que
como desejado.