Exercício 17. (D.K. ex. 12.7) (Equação de Onda Unidimensional) Defina o conjunto aberto V:=(x, t):|x|<t. Ache uma constante a in C tal que E=a chiV é uma solução fundamental de partialt^2-partialx^2, em que chiV é a função característica do conjunto V. Determine supp(E) e o singsupp(E)

Passo 1

O enunciado pede uma solução fundamental E do operador onda unidimensional
Box = partialt^2-partialx^2,
na forma
E(x,t)=a,chiV(x,t), V=(x,t):|x|<t,
de modo que, em distribuições,
Box E = de<a(x),de<a(t)
Para isso vamos usar as derivadas no sentido de distribuições, lembrando que
partial H(u)=de<a(u),u' e que chiV(x,t)=H(t-|x|).

Passo 2

Propondo
temos em distribuições

Passo 3

Derivando de novo,
e, para , usamos
e
:

Passo 4

Agora,
Box E =partialt^2E-partialx^2E =a,partialtde<a(t-|x|) ;-; l[-al(2de<a(x),de<a(t-|x|)-partialtde<a(t-|x|)r)r] =2a,de<a(x),de<a(t)

Passo 5

Para que Box E=de<a(x),de<a(t) precisamos de
2a=1 Longrightarrow a=tfrac12

Passo 6

Como é constante em e nula fora, temos
e é suave em e em , logo

Resposta

.
.
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