Seja o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2 .
(1 ponto) a) Sabendo que a base canônica deste espaço é , determine a sua dimensão.
(1 ponto) b) Mostre que é base de .
Passo 1
O enunciado trata do espaço vetorial dos polinômios de grau .
Na alínea (a) queremos a dimensão, que é o número de vetores em qualquer base.
Na alínea (b) precisamos mostrar que o conjunto é base, ou seja, que é linearmente independente e gera todo .
Passo 2
A base canônica de é , que tem exatamente elementos.
Pela definição,
Passo 3
Para mostrar que é base, escrevemos as coordenadas dos seus vetores na base canônica e montamos a matriz de mudança de base
cuja coluna 1 é (1,0,1), coluna 2 é (0,1,1) e coluna 3 é (1,1,1).
Calculamos o determinante:
Como det(M)neq0, M é invertível. Logo, os vetores de B' são linearmente independentes e, tendo 3 vetores num espaço de dimensão 3, geram P2(F). Portanto B' é base.
Resposta
a) dim P2(F)=3
b) B'=1+t^2,,t+t^2,,1+t+t^2 é base de P2(F), pois sua matriz de coordenadas tem determinante -1neq0.