Seja F: P2(R) P2(R) a transformação linear dada por F(p(t))=t p^prime(t).
(1 ponto) a) Determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem de F.
(1 ponto) b) Escreva a matriz de F em relação à base ordenada B=(1, t, t^2), ou seja, FB. Se p in P2(R) é um polinômio com coordenadas ( 0,0,1 ) na base ordenada B, ou seja, p(t)=t^2, quais são as coordenadas de F(p) na base ordenada B ?

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
Fcolon P2(R)to P2(R), Fl(p(t)r)=t,p'(t),
e pede:
a) base e dimensão do núcleo e da imagem de F.
b) a matriz de F na base ordenada B=(1,t,t^2) e, para p(t)=t^2 (coordenadas (0,0,1) em B), as coordenadas de F(p) em B.

Passo 2

Para achar ker(F), resolvemos
Fl(p(t)r)=t,p'(t)=0(polinômio nulo) ô
Como t,p'(t) é identicamente zero, devemos ter p'(t)=0. Logo p é constante, e
ker(F)=,p(t)=cmid cinR=span1,
portanto dim(ker(F))=1.

Passo 3

Para Im(F), tomamos um polinômio geral
p(t)=a+bt+ct^2, p'(t)=b+2c,t,
e então
Fl(p(t)r)=t,(b+2c,t)=b,t+2c,t^2
Isso mostra que toda imagem é combinação de t e t^2. Logo
Im(F)=spant,t^2,
e dim(Im(F))=2.

Passo 4

Agora calculamos F nos vetores da base B=(1,t,t^2) e escrevemos as colunas da matriz FB:
F(1)=tcdot0=0longrightarrow(0,0,0),
F(t)=tcdot1=tlongrightarrow(0,1,0),
F(t^2)=tcdot2t=2t^2longrightarrow(0,0,2)
Portanto, em forma de matriz,
[F]B= 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2

Passo 5

Para p(t)=t^2 as coordenadas em B são (0,0,1). Multiplicando pela matriz,
[F]B001 =002
Logo as coordenadas de F(p)=2t^2 em B são (0,0,2).

Resposta

a) ker(F)=span1, dimker(F)=1;
Im(F)=spant,t^2, dimIm(F)=2
b)
[F]B= 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 ,
e as coordenadas de F(t^2) em B são (0,0,2).

Exercícios relacionados