Seja a transformação linear dada por .
(1 ponto) a) Determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem de .
(1 ponto) b) Escreva a matriz de em relação à base ordenada , ou seja, . Se é um polinômio com coordenadas ( ) na base ordenada , ou seja, , quais são as coordenadas de na base ordenada ?
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear
e pede:
a) base e dimensão do núcleo e da imagem de .
b) a matriz de na base ordenada e, para (coordenadas em ), as coordenadas de em .
Passo 2
Para achar , resolvemos
Como é identicamente zero, devemos ter . Logo é constante, e
portanto .
Passo 3
Para , tomamos um polinômio geral
e então
Isso mostra que toda imagem é combinação de e . Logo
e .
Passo 4
Agora calculamos nos vetores da base e escrevemos as colunas da matriz :
Portanto, em forma de matriz,
Passo 5
Para p(t)=t^2 as coordenadas em B são (0,0,1). Multiplicando pela matriz,
[F]B001 =002
Logo as coordenadas de F(p)=2t^2 em B são (0,0,2).
Resposta
a) ker(F)=span1, dimker(F)=1; Im(F)=spant,t^2, dimIm(F)=2
b)