Exercício 7. Seja
uma função. Se
e
, mostre que:
(a) Se
, então
. Se
, então
.
(b)
e
.
(c)
e, se
injetiva, vale a igualdade
.
(d)
.
(e)
.
(f) Dê hipóteses para
, tal que
.
(a) Se
(b)
(c)
(d)
(e)
(f) Dê hipóteses para
Passo 1
O enunciado trata de uma função
e de subconjuntos
e
. Precisamos mostrar as propriedades usuais de imagem direta
e imagem inversa
:
– (a) monotonicidade (inclusões),
– (b) preservação de união,
– (c) relação com interseção (e igualdade se injetiva),
– (d) preservação de interseção pela imagem inversa,
– (e) comportamento da imagem inversa em complemento,
– (f) condições para que a imagem direta envie complemento em complemento.
– (a) monotonicidade (inclusões),
– (b) preservação de união,
– (c) relação com interseção (e igualdade se
– (d) preservação de interseção pela imagem inversa,
– (e) comportamento da imagem inversa em complemento,
– (f) condições para que a imagem direta envie complemento em complemento.
Passo 2
(a) Provar
.
Seja . Então existe
com
. Como
, esse mesmo
pertence a
, logo
. Assim
.
Análogo para a inversa: se e
, então
, daí
. Logo
.
Seja
Análogo para a inversa: se
Passo 3
(b) Provar
De fato,
– Se , existe
com
. Então
ou
, de onde
. E vice-versa.
– Se , então
, logo
ou
, e assim
. E vice-versa.
– Se
– Se
Passo 4
(c) Provar
e que, se
é injetiva, vale a igualdade.
Se , existe
com
. Então
e
, logo
.
Se é injetiva e
, então existem
e
tais que
. Pela injetividade
, daí
.
Se
Se
Passo 5
(d) Provar
De fato,
Passo 6
(e) Provar
onde
e
.
Passo 7
(f) Queremos que
ou seja
Para a inclusão
basta que
seja sobrejetora (cada
tem algum pré-imagem fora de
se
). Para a inclusão
precisamos que nunca ocorram colisões de valores em
, isto é,
seja injetora.
Logo, sob a hipótese de ser bijetiva (injetora e sobrejetora), vale a igualdade desejada.
Logo, sob a hipótese de
Resposta
Para que
seja verdade para todo
, basta exigir que
seja bijetiva (injetora e sobrejetora).