Exercício 7. Seja f: A B uma função. Se X, X^prime subseteq A e Y, Y^prime subseteq B, mostre que:
(a) Se X subseteq X^prime, então f(X) subseteq f(X^prime). Se Y subseteq Y^prime, então f^-1(Y) subset f^-1(Y^prime).
(b) f(X cup X^prime)=f(X) cup f(X^prime) e f^-1(Y cup Y^prime)=f^-1(Y) cup f^-1(Y^prime).
(c) f(X cap X^prime) subseteq f(X) cap f(X^prime) e, se f injetiva, vale a igualdade f(X cap X^prime)=f(X) cap f(X^prime).
(d) f^-1(Y cap Y^prime)=f^-1(Y) cap f^-1(Y^prime).
(e) f^-1(CB Y)=CA(f^-1(Y)).
(f) Dê hipóteses para f, tal que f(CA X)=CB f(X).

Passo 1

O enunciado trata de uma função fcolon Ato B e de subconjuntos X,X'subseteq A e Y,Y'subseteq B. Precisamos mostrar as propriedades usuais de imagem direta f(cdot) e imagem inversa f^-1(cdot):
– (a) monotonicidade (inclusões),
– (b) preservação de união,
– (c) relação com interseção (e igualdade se f injetiva),
– (d) preservação de interseção pela imagem inversa,
– (e) comportamento da imagem inversa em complemento,
– (f) condições para que a imagem direta envie complemento em complemento.

Passo 2

(a) Provar Xsubseteq X'implies f(X)subseteq f(X').
Seja yin f(X). Então existe xin X com f(x)=y. Como Xsubseteq X', esse mesmo x pertence a X', logo yin f(X'). Assim f(X)subseteq f(X').
Análogo para a inversa: se Ysubseteq Y' e ain f^-1(Y), então f(a)in Ysubseteq Y', daí ain f^-1(Y'). Logo f^-1(Y)subseteq f^-1(Y').

Passo 3

(b) Provar
f(Xcup X')=f(X)cup f(X'),
f^-1(Ycup Y')=f^-1(Y)cup f^-1(Y')
De fato,
– Se yin f(Xcup X'), existe xin Xcup X' com f(x)=y. Então xin X ou xin X', de onde yin f(X)cup f(X'). E vice-versa.
– Se ain f^-1(Ycup Y'), então f(a)in Ycup Y', logo f(a)in Y ou f(a)in Y', e assim ain f^-1(Y)cup f^-1(Y'). E vice-versa.

Passo 4

(c) Provar
f(Xcap X')subseteq f(X)cap f(X')
e que, se f é injetiva, vale a igualdade.
Se yin f(Xcap X'), existe xin Xcap X' com f(x)=y. Então yin f(X) e yin f(X'), logo yin f(X)cap f(X').
Se f é injetiva e yin f(X)cap f(X'), então existem xin X e x'in X' tais que f(x)=y=f(x'). Pela injetividade x=x'in Xcap X', daí yin f(Xcap X').

Passo 5

(d) Provar
f^-1(Ycap Y')=f^-1(Y)cap f^-1(Y')
De fato,
f^-1(Ycap Y')=ain Amid f(a)in Ycap Y' =amid f(a)in Y e f(a)in Y' =f^-1(Y)cap f^-1(Y')

Passo 6

(e) Provar
f^-1l(CB Yr)=CAl(f^-1(Y)r),
onde CA Y=Asetminus Y e CB Y=Bsetminus Y.
f^-1(Bsetminus Y) =amid f(a)in Bsetminus Y =amid f(a)notin Y =Asetminusamid f(a)in Y =Asetminus f^-1(Y)

Passo 7

(f) Queremos que
f(CA X)=CB f(X),
ou seja
f(Asetminus X)=Bsetminus f(X)
Para a inclusão Bsetminus f(X)subseteq f(Asetminus X) basta que f seja sobrejetora (cada yin B tem algum pré-imagem fora de X se ynotin f(X)). Para a inclusão f(Asetminus X)subseteq Bsetminus f(X) precisamos que nunca ocorram colisões de valores em f, isto é, f seja injetora.
Logo, sob a hipótese de f ser bijetiva (injetora e sobrejetora), vale a igualdade desejada.

Resposta

Para que f(CA X)=CB f(X) seja verdade para todo Xsubseteq A, basta exigir que f seja bijetiva (injetora e sobrejetora).

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