- Sejam
três pontos tais que
. Uma função
cujo gráfico passa por esses três pontos é uma spline quadrática se
é uma função quadrática em
e uma função quadrática possivelmente diferente em
, e as duas quadráticas têm a mesma inclinação em
. Para este problema, considere
.
a) Obtenha uma família a um parâmetro
de splines quadráticas passando por
, tendo inclinação
em
.
b) Obtenha o valor de
para o qual o comprimento do gráfico
, entre
e
, seja mínimo. Qual é esse comprimento mínimo? Compare-o com o comprimento da poligonal
.
a) Obtenha uma família a um parâmetro
b) Obtenha o valor de
Passo 1
O enunciado pede para construir uma spline quadrática
que passe pelos pontos
,
,
, seja dada por duas quadráticas (uma em
e outra em
) e tenha inclinação igual a um parâmetro
em
. Em seguida, devemos achar o valor de
que minimiza o comprimento do arco de
entre
e
, e comparar esse comprimento mínimo com o da poligonal
. Vamos usar: construção de splines
, comprimento de curva via integral de
e depois otimização numérica em
.
Passo 2
Definimos
e impomos as condições
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Passo 3
Das condições em
:
.
.
e
.
Resolvendo
Resolvendo
Logo
Passo 4
Das condições em
:
.
.
e
.
Dessas equações segue
Dessas equações segue
Assim
Passo 5
Portanto, a família de splines é
com
.]
Passo 6
O comprimento do arco é
Aqui
,
.
Passo 7
Em cada integral fazemos a troca de variável
, que resulta em
O resultado geral pode ser expresso em termos da primitiva
e nos conduz à fórmula fechada
Passo 8
Para encontrar
que minimiza
impomos
. Essa equação não admite solução elementar, mas pode ser resolvida numericamente.
Passo 9
Aplicando métodos numéricos (por exemplo Newton ou busca unidimensional), obtém-se aproximadamente
Passo 10
Substituindo
em
e computando numericamente os integrais, chega-se a
Passo 11
O comprimento da poligonal
é
Resposta
a)
b)
O valor que minimiza o comprimento é , dando
.
O comprimento da poligonal é
, portanto a poligonal é mais curta.]
O valor que minimiza o comprimento é
O comprimento da poligonal