Verifique se, para a funçăo de produção de Cobb-Douglas
P(L, K)=1,01 L^0.35 K^circ 25
discutida no Exemplo 3, a produçilo dobrará se as quantidades de trabalho e a de capital investido forem dobradas. Determine se isso também é verdade para uma funçăo de produçăo genérica
P(L, K)=b L^- K^1-sigma

Passo 1

O enunciado nos dá a função de produção de Cobb–Douglas
P(L,K)=1,01,L^0,35K^0,25
e pergunta se ao dobrar as quantidades de trabalho L e capital K a produção P também dobra. O conteúdo aqui é o estudo de retornos de escala em funções homogêneas: uma função do tipo L^aK^b é homogênea de grau a+b, então dobrar as entradas multiplica a saída por 2^,a+b.

Passo 2

Vamos calcular
P(2L,2K) =1,01,(2L)^0,35,(2K)^0,25 =1,01;2^0,35,L^0,35;2^0,25,K^0,25 =1,01;2^0,35+0,25,L^0,35K^0,25 =2^0,60;P(L,K)

Passo 3

Como 0,60<1, temos 2^0,60<2. Logo, duplicar L e K aumenta P em um fator 2^0,60approx1,515, que é menor que 2. Concluímos que a produção não dobra; há retornos de escala decrescentes.

Passo 4

Agora considere a função genérica
P(L,K)=b,L^alphaK^1-sigma
O grau de homogeneidade é alpha+(1-sigma), e ao dobrar insumos teremos um fator 2^alpha+1-sigma.

Passo 5

Calculamos
P(2L,2K) =b,(2L)^alpha,(2K)^1-sigma =b,2^alpha,L^alpha;2^1-sigma,K^1-sigma =2^alpha+1-sigma;P(L,K)

Passo 6

Para que P(2L,2K)=2,P(L,K) é necessário e suficiente que
2^alpha+1-sigma=2 Long<=ftrightarrow alpha+1-sigma=1 Long<=ftrightarrow alpha=sigma
Isto é, só teremos retornos de escala constantes (produção dobra) se alpha=sigma.

Resposta

Para P(L,K)=1,01,L^0,35K^0,25 não ocorre dobra da produção (retornos decrescentes).
Para P(L,K)=b,L^alphaK^1-sigma a produção dobra ao dobrar insumos se, e somente se, alpha=sigma.

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