Verifique se, para a funçăo de produção de Cobb-Douglas
discutida no Exemplo 3, a produçilo dobrará se as quantidades de trabalho e a de capital investido forem dobradas. Determine se isso também é verdade para uma funçăo de produçăo genérica
Passo 1
O enunciado nos dá a função de produção de Cobb–Douglas
e pergunta se ao dobrar as quantidades de trabalho
e capital
a produção
também dobra. O conteúdo aqui é o estudo de retornos de escala em funções homogêneas: uma função do tipo
é homogênea de grau
, então dobrar as entradas multiplica a saída por
.
Passo 2
Vamos calcular
Passo 3
Como
, temos
. Logo, duplicar
e
aumenta
em um fator
, que é menor que 2. Concluímos que a produção não dobra; há retornos de escala decrescentes.
Passo 4
Agora considere a função genérica
O grau de homogeneidade é
, e ao dobrar insumos teremos um fator
.
Passo 5
Calculamos
Passo 6
Para que
é necessário e suficiente que
Isto é, só teremos retornos de escala constantes (produção dobra) se
.
Resposta
Para
não ocorre dobra da produção (retornos decrescentes).
Para a produção dobra ao dobrar insumos se, e somente se,
.
Para