Exercício 7. Seja F(r, \theta)=f(x, y), \operatorname{com} x=r \cos \theta e y=r \operatorname{sen} \theta e f de classe \mathcal{C}^{1}. Verifique que
\frac{\partial f}{\partial y}(x, y)=\frac{\cos \theta}{r} \frac{\partial F}{\partial \theta}(r, \theta)+\operatorname{sen} \theta \frac{\partial F}{\partial r}(r, \theta)

Passo 1

O enunciado define
F(r,\theta)=f(x,y) \quad\text{com}\quad x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,
e pede para escrever \partial f/\partial y em função de \partial F/\partial r e \partial F/\partial\theta. Vamos usar a regra da cadeia em duas variáveis.

Passo 2

Calculamos
F_r(r,\theta) =\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial r} +\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial r} =f_x\cos\theta+f_y\sin\theta.

Passo 3

Em seguida,
F_\theta(r,\theta) =\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial\theta} +\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial\theta} =f_x(-r\sin\theta)+f_y(r\cos\theta).

Passo 4

Dividindo por r a expressão de F_\theta e escrevendo o sistema completo:
F_r=\cos\theta\,f_x+\sin\theta\,f_y, \qquad \frac{F_\theta}{r}=-\sin\theta\,f_x+\cos\theta\,f_y.
Para isolar f_y, multiplicamos a primeira por \sin\theta e a segunda por \cos\theta e somamos:
\sin\theta\,F_r+\cos\theta\,\frac{F_\theta}{r} =(\sin^2\theta+\cos^2\theta)\,f_y =f_y.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\sin\theta\,F_r(r,\theta) +\frac{\cos\theta}{r}\,F_\theta(r,\theta),
que, reordenando, é exatamente
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\frac{\cos\theta}{r}\,\frac{\partial F}{\partial \theta}(r,\theta) +\sin\theta\,\frac{\partial F}{\partial r}(r,\theta).

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