Encontre a derivada direcional no ponto P e na direção do vetor \vec{v} indicada.
(d) f(x, y)=x e^{y}+y e^{x}, P=(1,0), \vec{v}=(3,4)

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y) = x e^{y} + y e^{x}
no ponto P = (1,0) na direção do vetor \vec v = (3,4).
O conteúdo utilizado será o gradiente de f e a fórmula da derivada direcional
D_{\vec u}f(P) = \nabla f(P)\cdot \vec u,
onde \vec u é o vetor unitário em direção a \vec v.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f.
A derivada de f em relação a x é
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x e^{y}\bigr) + \frac{\partial}{\partial x}\bigl(y e^{x}\bigr) = e^{y} + y e^{x}.
A derivada de f em relação a y é
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x e^{y}\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y e^{x}\bigr) = x e^{y} + e^{x}.
Assim, o gradiente geral é
\nabla f(x,y) = \bigl(e^{y} + y e^{x},\,x e^{y} + e^{x}\bigr).

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em P=(1,0).
Como e^{0}=1 e e^{1}=e, temos
\frac{\partial f}{\partial x}(1,0) = e^{0} + 0\cdot e^{1} = 1, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(1,0) = 1\cdot e^{0} + e^{1} = 1 + e.
Logo
\nabla f(1,0) = \bigl(1,\;1 + e\bigr).

Passo 4

Precisamos do vetor unitário \vec u na direção de \vec v=(3,4).
O comprimento de \vec v é
\|\vec v\| = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5.
Então
\vec u = \frac{\vec v}{\|\vec v\|} = \Bigl(\tfrac{3}{5},\,\tfrac{4}{5}\Bigr).

Passo 5

A derivada direcional é o produto escalar
D_{\vec u}f(1,0) = \nabla f(1,0)\cdot \vec u = \bigl(1,\;1+e\bigr)\cdot \Bigl(\tfrac{3}{5},\,\tfrac{4}{5}\Bigr) = \frac{3\cdot 1 + 4\cdot(1+e)}{5}.
Simplificando,
D_{\vec u}f(1,0) = \frac{3 + 4 + 4e}{5} = \frac{7 + 4e}{5}.

Resposta

\frac{7 + 4e}{5}

Exercícios relacionados