Encontre a derivada direcional no ponto P e na direção do vetor \vec{v} indicada.
(e) f(x, y)=\frac{2 x}{x-y}, P=(1,0), \vec{v}=(1,-\sqrt{3})

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=\frac{2x}{x-y} no ponto P=(1,0) na direção do vetor \vec v=(1,-\sqrt{3}). Vamos usar que a derivada direcional em direção ao versor \vec u é dada por
D_{\vec u}f(P)=\nabla f(P)\cdot\vec u.
Para isso, precisamos (i) calcular \nabla f(x,y), (ii) avaliar em P, (iii) obter o versor \vec u a partir de \vec v e (iv) fazer o produto escalar.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=2x\,(x-y)^{-1}.
Para \partial f/\partial x usamos produto e cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x} =2\cdot (x-y)^{-1} + 2x\cdot(-1)\,(x-y)^{-2}\cdot1 =\frac{2}{x-y}-\frac{2x}{(x-y)^2}.
Para \partial f/\partial y só entra a parte de cadeia no denominador:
\frac{\partial f}{\partial y} =2x\cdot(-1)\,(x-y)^{-2}\cdot(-1) =\frac{2x}{(x-y)^2}.
Logo
\nabla f(x,y) =\Bigl(\frac{2}{x-y}-\frac{2x}{(x-y)^2},\;\frac{2x}{(x-y)^2}\Bigr).

Passo 3

Em P=(1,0) temos x-y=1. Substituindo:
\frac{\partial f}{\partial x}(1,0) =\frac{2}{1}-\frac{2\cdot1}{1^2}=2-2=0, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(1,0) =\frac{2\cdot1}{1^2}=2.
Portanto \nabla f(1,0)=(0,2).

Passo 4

O vetor dado é \vec v=(1,-\sqrt{3}). Seu módulo é
\|\vec v\|=\sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=2.
O versor é
\vec u=\frac{\vec v}{\|\vec v\|}=\Bigl(\tfrac12,\,-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr).

Passo 5

Agora fazemos o produto escalar
D_{\vec u}f(1,0) =\nabla f(1,0)\cdot\vec u =(0,2)\cdot\Bigl(\tfrac12,-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr) =0\cdot\tfrac12+2\cdot\bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr) =-\sqrt{3}.

Resposta

A derivada direcional de f em P na direção de \vec v vale -\sqrt{3}.

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